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確率変数Xの分布関数F(x)がF(0)=0を満たすとき、Xの期待値について

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ID非公開さん

2019/4/2719:50:57

確率変数Xの分布関数F(x)がF(0)=0を満たすとき、Xの期待値について

E(X)=
∫xf(x)dx
=[-x(1-F(x)]-∫-(1-F(x))dx
=∫(1-F(x))dx (x:0⇨∞)
と部分積分されるそうなのですが、2式目から3式目(部分積分)はどのように変換しているのでしょうか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

2019/4/2815:36:18

分布関数において F(x)=0 な成り立つならば
y<=x を満たす y について F(y)=0 を満たす。
(∵分布関数は広義単調増加)

また、確率の定義から F(x)<=1 はすべての x で満たし、
lim[x→∞]F(x)=1 である。

簡単のため、Xは連続分布であるとするが、
微分積分学の基本定理により
∫[t=-∞,x]f(t)dt=F(x) であり、
F(0)=0 という条件が加わると、先に示したとおり
x<=0 において f(x)=0 となるから
∫[t=0,x]f(t)dt=F(x)
が言える。
さらに、∫[t=0,∞]f(t)dt=1 でもあるから、
これらを合わせると x>=0 で
∫[t=x,∞]f(t)dt=1-F(x) となる。
積分区間の上端を x にしたいので、さらに両辺に -1 をかけることで
∫[t=∞, x]f(t)dt=-(1-F(x))

これが、f(x) の原始関数を -(1-F(x)) として計算している背景である。

Xが離散分布の場合は∫~dx を Σ[i]x[i]Pr(X=x[i]) と読み替えること。

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