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数bの数列の問題です

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ID非公開さん

2019/5/1512:13:52

数bの数列の問題です

最後の計算でan=〇・(〇^n-1 )-〇の形になるみたいなのですが、上手く行きません。
計算の仕方を教えてほしいです。
もし、やり方が間違ってる部分があればご指摘お願いします。

n-1,数列,計算,ご指摘,a×3,やり方,k-4×3

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nep********さん

2019/5/1515:28:48

a[n+1]=4a[n]+3^(n+1)

1.
a[n+1]-A×3^(n+2)=4{a[n]-A×3^(n+1)}
a[n+1]=4a[n]-A×3^(n+1)

恒等式をといてA=-1

a[n+1]+3^(n+2)=4{a[n]+3^(n+1)}
a[n]+3^(n+1)=(a[1]+3^2)4^(n-1)
a[n]=7×4^(n-1)-3^(n+1)

2.
a[n+1]=4a[n]+3^(n+1)から
a[n]=A×4^(n-1)+B×3^(n-1) の形になると予想する。

a[1]=-2,a[2]=1なので
a[1]=A+B=-2
a[2]=4A+3B=1
これをといてA=7,B=-9

よって a[n]=7×4^(n-1)-3^(n+1)

これを帰納法で示す。(この方法を使いたい時はいきなりa[n]の一般項が初めから分かってますよとアピールするように書いていい。計算は頭の中か紙の端にでもして解答用紙には残さない方が綺麗。)

n=1のときa[1]=7-3^2=-2 となるので成り立つ。
n=kのとき成り立つと仮定すると、
n=k+1のとき
a[k+1]=4a[k]+3^(k+1)
=7×4^k-4×3^(k+1)+3^(k+1)
=7×4^k-3^(k+2) よってn=k+1でも成り立つ。
帰納的に a[n]=7×4^(n-1)-3^(n+1)
が示された。

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    質問者

    ID非公開さん

    2019/5/2018:13:14

    色々な求め方があるんですね...。
    詳しく説明頂いてありがたいです。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

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