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この問題の解き方を教えてください。 (2)からが分かりません。

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ID非公開さん

2019/6/1119:00:03

この問題の解き方を教えてください。
(2)からが分かりません。

解き方,共有点,x軸,極大値,極小値,傾き,問題

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wan********さん

2019/6/1411:58:50

(1)
f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)
x=0,4で極値をとり、Nの形のグラフ
(2)
2つの方程式からyを消去して
x^3-6x^2=mx
g(x)=x^3-6x^2-mxとおくと
g'(x)=3x^2-12x-m
題意は
y=g(x)がx軸との共有点の個数が3個であるようなmの範囲を求めよ
と同じ
極大値>0かつ極小値<0であれば、x軸との共有点が3個であると言える
もう少し工夫して、極大値>0かつ極小値<0を極大値・極小値<0として
g'(x)=0の解をα,β(α<β)とすると、解と係数の関係から
α+β=4,αβ=-m/3 ①
また、3α^2-12α-m=0よりα^2=4α+m/3、同様にβ^2=4β+m/3
極大値g(α)=α^3-6α^2-mα=(4α+m/3)α-6α^2-mα=-2α^2-(2/3)mα=-2(4α+m/3)-(2/3)mα=-8α-(4/3)m
同様に、極小値g(β)=-8β-(4/3)mだから

極大値g(α)・極小値g(β)=(-8α-(4/3)m)(-8β-(4/3)m)=64αβ+(4/3)m(α+β)+((4/3)m)^2
=84(-m/3)+(16/3)m+(16/9)m^2 <0 を解く (以下省略)

(3)
問題に書いてある通りにする
A,Bにおける接線の傾きを求め、垂直になるので(傾きの積=-1)となるmの値を求める
α、βは①によりmの式に置き換えられる

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