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x”(t)+3x’(t)+2x(t)=3 x’(0)=3 x(0)=1

非公開さん

2019/6/716:12:30

x”(t)+3x’(t)+2x(t)=3 x’(0)=3 x(0)=1

をラプラス変換を用いて解いてください。
途中式も書いてください。

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rep********さん

編集あり2019/6/718:07:49

L[x''(t)+3x'(t)+2x(t)]=L[3]
L[x''(t)]+3L[x'(t)]+2L[x(t)]=3/s…①

x(t)のラプラス変換をL[x(t)]=X(s)とおくと,
L[x’(t)]=sX(s)-x(0)=sX(s)-1
L[x”(t)]=s²X(s)-sx(0)-x'(0)=s²X(s)-s-3

①に代入して
s²X(s)-s-3+3{sX(s)-1}+2X(s)=3/s
(s²+3s+2)X(s)=(3/s)+(s+6)
(s+1)(s+2)X(s)=(3/s)+(s+6)
X(s)=3/{s(s+1)(s+2)}+(s+6)/{(s+1)(s+2)}
X(s)={3+s(s+6)}/{s(s+1)(s+2)}
X(s)=(s²+6s+3)/{s(s+1)(s+2)}
右辺の部分分数分解を行うと
X(s)=(3/2)(1/s)+2/(s+1)-(5/2){1/(s+2)}

従って,
x(t)
=L⁻¹[X(s)]
=L⁻¹[(3/2)(1/s)+2/(s+1)-(5/2){1/(s+2)}]
=(3/2)L⁻¹[(1/s)]+2L⁻¹[1/(s+1)]-(5/2)L⁻¹[1/(s+2)]
=(3/2)+2e^(-t)-(5/2)e^(-2t)【答】

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