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(4)がわかりません。多分fが有界ってことを使うんだと思うんですが、証明の仕方が...

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ID非公開さん

2019/6/2320:18:02

(4)がわかりません。多分fが有界ってことを使うんだと思うんですが、証明の仕方がわかりません。よろしくお願いします。

有界,x-y,dxdy,tx ty,0 0,証明,仕方

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ZeTeSさん

編集あり2019/6/2321:49:25

∫Φt(x,y)f(x,y)dxdy-f(0,0)
= ∫Φt(x,y)f(x,y)dxdy-∫Φ(x,y)f(0,0)dxdy

tw=x,tz=yとおくと
dydx=t^2dwdzとなり

∫Φt(x,y)f(x,y)dxdy-∫Φ(x,y)f(0,0)dxdy
= ∫Φ(w,z)f(tw,tz)dwz-∫Φ(x,y)f(0,0)dxdy
= ∫Φ(x,y){f(tx,ty)-f(0,0)}dxdy
となります

あとは有界収束定理ってやつを使えばOKです

ざっくり書くと
Kは有界なので
∀M>0 ∀(x,y)∈K |(x,y)|<M

|∫Φ(x,y){f(tx,ty)-f(0,0)}dxdy|
<sup【x,y】|f(tx,ty)-f(0,0)|
<sup【|(x,y)|<tM】|f(x,y)-f(0,0)|
→0



sup【|(x,y)|<tM】|f(x,y)-f(0,0)|がゼロに収束しないとすると
∃ε>0 ∀n∈N ∃t(n)>0 ∃x(n),y(n) s.t.
|(x(n),y(n))|<t(n)M, t(n)<1/n
|f(x(n),y(n))-f(0,0)|>ε

⇒(x(n),y(n))→(0,0)であり、
lim[n→∞]|f(x(n),y(n))-f(0,0)|≧ε>0
となるがfの連続性に反する

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質問した人からのコメント

2019/6/24 02:43:07

有界収束定理を使うんですね!とてもわかりやすいです!

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