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Vを2×2複素行列全体のなすC線形空間M2(C)とし、 B={(a b) (c d)}∈M2(C)を任意...

mts********さん

2019/7/620:22:58

Vを2×2複素行列全体のなすC線形空間M2(C)とし、
B={(a b)
(c d)}∈M2(C)を任意にとる C線形写像f:V→Vをf(A)=BAで定めるとき
(1)fの固有多項式Φf(t)をBの固有多項式ΦB(t)を用いて表せ(B

はfの行列表示ではない)
(2)任意のα∈Cにたいして、Vf(α)をVB(α)を用いて表せ
この問題はどのように解けばよいのでしょうか?

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fra********さん

2019/7/817:16:19

M2(C) の基底は指定されていない、ということでよろしいでしょうか。考えられるのは2通りです。


その1:

C^4∋(x1,x2,x3,x4)'

A =
x1x3
x2x4 ⇐ 成分の並びに注意が必要です

∈ M2(C)

と対応させて M2(C)=C^4 と同一視する場合です。この場合は M2(C) の基底として

e1=
10
00

e2=
00
10

e3=
01
00

e4=
00
01

を取っています。


その2:

C^4∋(x1,x2,x3,x4)'

x1x2
x3x4 ⇐ 成分の並びに注意が必要です。その1との並びの違い!

∈ M2(C)

と対応させて M2(C)=C^4 と同一視する場合です。この場合は M2(C) の基底として

e1=
10
00

e2=
01
00

e3=
00
10

e4=
00
01

を取っています。


その1とその2との違いは、2,3番目の基底が入れ替わっていることです。その1の方が計算は簡単で、B の情報がそのまま f に反映します。私が出題者であれば、その2のように基底を指定して回答者の計算力を見てみたいですね。

*****以下解答例です*****

[その1の場合]
A =
x1x3
x2x4

に対して

f(A)=BA=
ax1+bx2,ax3+bx4
cx1+dx2,cx3+dx4



ax1+bx2
cx1+dx2
ax3+bx4
cx3+dx4

∈C^4

ですから、f : C^4 → C^4 と見たときの表現行列 R は

R =

ab00
cd00
00ab
00cd

=

BO
OB

となっています。従って

Φ_f(t)=Φ_B(t)^2

です。これから、f の固有値は B の固有値であり、逆に、B の固有値は f の固有値です。共通の固有値を α とすると、固有空間は

V_f(α)={x=(x1x2x3x)'|(αE4-R)x=0}

={x=(x1x2x3x)'|(αE2-B)(x1,x2)'=0, (αE2-B)(x3,x4)'=0}

={x=(x1x2x3x)'|(x1x2), (x3x4)∈V_B(α)}

= V_B(α) の2次元ベクトルを縦に並べた全体

と表すことができます。


[その2の場合]
A =
x1x2
x3x4

に対して

f(A)=BA=
ax1+bx3,ax2+bx4
cx1+dx3,cx2+dx4



ax1+bx3
ax2+bx4
ax1+dx3
cx2+dx4

∈C^4

ですから、f : C^4 → C^4 と見たときの表現行列 R は

R =

a0b0
0a0b
c0d0
0c0d

となっています。この固有多項式の計算は少し工夫が必要です。

|tE4-R|

を計算する際に

2,3列を入れ替え、次に2,3行を入れ替えると

TE2-B,O
O ,tE2-B

ですから、やはりその1と同じく

Φ_f(t)=Φ_B(t)^2

です。固有空間については

(tE4-R)(x1x2x3x4)'=0

⇔(必要十分)

(tE2-B)(x1x3)'=0, (tE2-B)(x2x4)'=0

が直接計算により分かりますから、


V_f(α)={x=(x1x2x3x)'|(αE4-R)x=0}

={x=(x1x2x3x)'|(αE2-B)(x1,x3)'=0, (αE2-B)(x2,x4)'=0}

={x=(x1x2x3x)'|(x1x3), (x2x4)∈V_B(α)}

= V_B(α) の2次元ベクトルを 1,3行 と 2,4行 に並べた全体

と表すことができます。

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