ここから本文です

東大模試の問題です。解説お願いします。非常に難しいです。

nza********さん

2019/7/1018:37:37

東大模試の問題です。解説お願いします。非常に難しいです。

logt,共有点,東大模試,実数解,解説,xlogt,問題

閲覧数:
108
回答数:
1

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

プロフィール画像

カテゴリマスター

sta********さん

編集あり2019/7/1116:55:22

1)

y=t^x…①



x=t^y…②

はxとyを入れ替えた式になっているので

共に単調増加であり、かつ互いに逆関数である


従って 直線 y=xで接する場合にのみ①と②の実数解であり、
共有点である(x, y) はただ一つしか存在しないことになる

t>1のとき x>1,y>1である

x=y=α>1で①、②が接するとするためのtの条件を求めればよい

y=xより y'=1
y=t^xより y'=t^xlogt


以上より

y=xとy=t^xがx=α>1で接する条件は以下の通り

α=t^α…③
1=t^αlogt…④

③、④より

1=αlogt

α=1/logt

1/logt=t^(1/logt)

1/logt=(e^logt)^(1/logt)

1/logt=e

t=e^(1/e)


2)

t=1のとき (x, y)=(1,1)の実数解をもつ

0<t<1

の条件では

y=t^x…❶



x=t^y…❷


❶と❷はグラフの形状から❶と❷が共有点で接するまでは共有点は一つであり、それ以降は3つの交点を有する

よって

❶と❷が接するtの値Tを求めればよい

tが1以下でTまでのとき❶と❷の曲線の共有点は一つ、つまり実数解は一つである


❶と❷が接するときは

(β, β)〔0<β<1〕にて

y=ーx+2β

に接するから

1)と同様にして

β=t^β…⑤
ー1=t^βlogt…⑥

ー1=βlogt

β=ー1/logt

ー1/logt=t^(ー1/logt)

ー1/logt=(e^logt)^(ー1/logt)

logt=1/e

t=(1/e)^e

以上から

(1/e)^e≦t≦1

m(_ _)m

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

質問した人からのコメント

2019/7/12 11:09:28

ご丁寧にありがとうございました。

「東大」の検索結果

検索結果をもっと見る

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

別のキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる