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大学生までの知識で解き方を教えて下さい。 答えは(1)0(2)1 です。

ter********さん

2019/7/2717:00:03

大学生までの知識で解き方を教えて下さい。

答えは(1)0(2)1 です。

(1)lim(x→+0)(tanx)^{1/(1-cosx)}

(2)lim(x→+0)x^log(x+1)

以上2問宜しくお願い致します。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ona********さん

2019/8/203:13:47

(1)0<x<arctan(1/2) のとき 0<tanx<1/2 なので、この範囲で
0<(tanx)^{1/(1-cosx)}<(1/2)^{1/(1-cosx)}.
x→+0 のとき 1/(1-cosx)→+∞ なので、
lim(x→+0)(1/2)^{1/(1-cosx)}=0.
よって、lim(x→+0)(tanx)^{1/(1-cosx)}=0.

(2)x>0 のとき e^x > x+1 なので (※1)、
対数をとって、x > log(x+1).
よって 0<x<1 のとき、x^x < x^log(x+1).
一方、x>0 のとき、x < x+1 より、
x^log(x+1) < (x+1)^log(x+1) = e^{(log(x+1))^2}.
以上より、0<x<1 のとき、
x^x < x^log(x+1) < e^{(log(x+1))^2}.
右辺については、lim(x→+0)e^{(log(x+1))^2}=1.
また左辺についても、lim(x→+0)x^x=1 となる (※2).
よって、lim(x→+0)x^log(x+1)=1.

(※1) e^x - x -1 の x に関する導関数は e^x - 1 で、x>0 のとき
e^x - 1 > 0 だから、e^x - x - 1 はこの範囲で狭義単調増加.
lim(x→+0)(e^x - x -1)=0 だから、e^x - x -1 > 0.

(※2) lim(x→+0)(xlogx)=lim(x→+0){(logx)/(1/x)}
=lim(x→+0){(1/x)/(-1/x^2)}=lim(x→+0)(-x)=0 (←ロピタルの定理)
より、lim(x→+0)x^x=lim(x→+0)e^(xlogx)=1.

質問した人からのコメント

2019/8/2 23:29:22

大変わかりやすかったです。ありがとうございました。

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