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高校物理 繰り返しの跳ね返り 〈問題〉速さv0で床に鉛直に衝突した物体が跳ね上...

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ID非公開さん

2019/8/1721:53:09

高校物理 繰り返しの跳ね返り

〈問題〉速さv0で床に鉛直に衝突した物体が跳ね上がり再び床に衝突する運動を繰り返す場合(ただし非弾性衝突(0<e<1)とする).

n回目の衝突からn+1回目の衝突までの時間tnは写真の第2式で,このtnのn→∞までの和を取ると,第3式のように収束するので,この時間で「静止する」ことになる.

一方,n回目の衝突直後の速さは写真の第1式なので,nを∞にすると0に近づくが0になることはない(つまり「静止しない」).この矛盾どこが間違っていますか.

「アキレスと亀」と同じようなパラドックスになっているような気がしますが,よく分かりません.

パラドックス,e&amp;lt,アキレス,非弾性衝突,v0,衝突,変形

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yok********さん

2019/8/1813:38:57

アキレスと亀も真のパラドックスではないことはご存知ですよね? 空間や時間が無限に分割できることと有限空間内の運動が有限時間内に起こることとは矛盾しません。

ご紹介の場面ではどう考えればよいでしょう。無限の衝突を考えることができても、速さも衝突間時間も0に収束するので、数学的に矛盾はありません。

物理的には、無限回衝突というのは衝突体の変形などを無視し、またはね返り係数が一定であるという理想化のもとで生じる仮想的なものです。実際は衝突時に変形が起こりますから、衝突回数が十分多くなると物体は床から離れなくなり、しばらくそこで変形による振動を続けて終わりになります。はね返り係数も実験的には衝突速度で変化することが確認されています。

2つのことを理解しましょう。
①数学的には矛盾はないこと。たとえば無限回数の衝突が無限時間かかるわけではない。速度も衝突間時間もはね返り距離も極限で0に収束するので、理論的に矛盾しない。
②たとえば原子ひとつ分の微小な跳ね返りを数学的には考えることができても、物理的には無意味であること。物体の変形や熱運動その他のミクロの現象の中に埋没するだけです。したがって、物理的に無限回の衝突は起こりえません。

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    質問者

    ID非公開さん

    2019/8/1817:19:00

    ありがとうございました。②の理想化していることは分かります.

    ①については、以下の2点分かりました。
    ・無限回の衝突の後に静止する。
    ・無限回の衝突といっても無限に時間がかかる訳ではなく,その時間は有限でありその値は上の画像のTである。

    「数学的に矛盾はない」ということですが,それはどんな数学ですか。
    たとえば,f(x)=x,g(x)=1/x は、
    x→∞のときf(x)→∞、g(x)→0、だが積f(x)g(x)は1に収束する(というか常に1)
    ということと同じ数学的理由ですか。

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質問した人からのコメント

2019/8/19 14:54:17

「数学的には矛盾がない」の数学とはどんな数学なのかが分かりませんでしたが、それ以外は大変よくわかりました。ありがとうございました。

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