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高校数学の質問です。

tow********さん

2019/9/723:07:14

高校数学の質問です。

xの方程式4^x-a2^x+1+a-1=0が正と負の解をもつようなaの値の範囲を求めよ。

画像が答えなんですが、波線まではわかります。
ただ、根本的によくわかりません。上のグラフではXとxの直行座標、下の図では横がXになってるし、、、よくわかりません。初歩の初歩から解説よろしくお願いします。

初歩,x-a-2,波線,直行座標,方程式,a&gt,a2ˣ⁺¹+a-1

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vbo********さん

2019/9/916:55:58

指数の数字位カッコ書きしてよね
(回答の解説あるからわかるけど)

まず、
2ˣ=X…①
とする
指数関数ですから
2ˣ=X>0…②
とならなければなりません。

xが正の解と負の解を持つということは
xが正の時、X=2ˣ>1
xが負の時、X=2ˣ<1
だから、②を加え
Xが、0と1の間に解を持つことと、1より大きい解を持てば良いことが分ります

ここで
4ˣ=(2²)ˣ=2²ˣ=(2ˣ)²=X²
2ˣ⁺¹=2・2ˣ=2X
だから、与式の左辺をf(X)とすると
f(X)=4ˣ-a2ˣ⁺¹+a-1=X²-2aX+a-1
となる
ここで、
「2次関数のx軸との交点」⇔「『y=0』とした時の2次方程式の解」と同値の関係なので、
f(X)は2次の係数が正だから、下に凸の2次関数であり
0と1の間に解を持ち、1より大きな解を持つ条件は
f(0)>0
f(1)<0
となれば良いことが分る(質問者さんは、純粋に2次関数で考えて下さい)

後は
f(0)=a-1>0⇒a>1
f(1)=1-2a+a-1=-a<0⇒a>0
なので、どちらも成立する範囲である

a>1…答
となります

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ran********さん

2019/9/800:01:48

2^x=tとおくとt^2-2at+a-1=0
tの二次方程式に話を切り替える。x>0ならt>1でx<0ならt<1だからxが正と負の解をもつということはt>1に1つ,t<1に1つ解をもつ。後は普通の解の配置問題。
①判別式D>0
②軸は条件なし
③t=1のとき1^2-2a+a-1<0
解いて終わり

問題は正しく。解答があったから解けるけど。

ryu********さん

2019/9/723:27:03

望んだ回答でなくて申し訳ないですが、書いてある通りとしか言いようがないですね。もっとも簡潔に述べられた解答であると思います。
xが正と負の解を持つということを重視して考えてください。Xは必ず正ですから負にはなりません。xとXの違いについてよく考えてみましょう。

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