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0≦x＜2πのとき

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aya********さん

2019/9/2201:01:06

0≦x＜2πのとき

cosx+cos2x+cos3x=0

の方程式の解き方を教えて下さい

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Highflyerさん

2019/9/2202:58:36

いくつか方法があります．
(i)倍角公式で展開する
cosx+cos2x+cos3x
=cosx+2(cosx)^2-1+4(cosx)^3-3cosx
=4(cosx)^3+2(cosx)^2-2cosx-1
=(2cosx+1)(√2cosx+1)(√2cosx-1)=0
よりcosx=-1/2,±1/√2となりx=2π/3,4π/3,π/4,3π/4,5π/4,7π/4を得ます．

(ii)和積の公式を用いる
cosx+cos3x=2cos2xcosxより，
cosx+cos2x+cos3x=cos2x(2cosx+1)=0
より2x=π/2,3π/2,5π/2,7π/2またはx=2π/3,4π/3，すなわちx=π/4,3π/4,5π/4,7π/4,2π/3,4π/3を得ます．

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