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大学数学 (素朴的)集合論 距離空間あるいはユークリッド空間において 「内部...

sho********さん

2019/11/2100:52:15

大学数学 (素朴的)集合論

距離空間あるいはユークリッド空間において
「内部が導集合(集積点全体の集合)に含まれる」
は真ですか?

真なら証明を、偽なら反例をお答えいただけますと幸いです。

何卒よろしくお願いいたします。

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clickyさん

2019/11/2102:36:51

sho********さん

偽である.

【反例】
内部の定義は内点全体のことだから, 内点が集積点でない例を示す.
2元以上の任意の集合 X に離散距離を入れる.
すなわち, 距離関数 d として
x=y ⇔ d(x,y)=0
x≠y ⇔ d(x,y)=1
と定義する.
空でない A⊂X をとるとき
a∈A, B(a,1/2) = {x∈X | d(x,a)<1/2} ⊂ A
であり, 内点の定義から, a は A の内点である.
一方, B(a,1/2) - {a} = 空集合 であり, 集積点の定義から, a は集積点ではない.
以上から, 離散距離空間では内部が導集合に含まれない.

質問した人からのコメント

2019/11/21 13:18:47

理解いたしました。ご回答ありがとうございました。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

よつばさん

2019/11/2109:08:27

より素朴な反例として
X=R
S={1/2^n | nは自然数}
とすれば、Sの内部は空ですが、0はSの集積点であるので
これは反例になります。

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