ここから本文です

東京出版の月刊 大学への数学に掲載されていた問題について 問題文の記憶があや...

int********さん

2020/4/701:00:02

東京出版の月刊 大学への数学に掲載されていた問題について

問題文の記憶があやふやで不正確だと思いますが、以下の問題はいつ頃掲載されていたか、解答例はどこに掲載されていたか、覚えて

いる方いらっしゃいませんか?

問題
nを自然数とする。
領域D:x^1/n+y^1/n+z^1/n≦1に囲まれた立体の体積をV(D)とする。
このとき極限値
lim(n→∞) (V(D))^1/n
の値を求めよ。
※ ^1/n はn分の1乗根を表します。

問題文に一部誤りがあるかもしれませんが、よろしくお願いします。

補足解ける方いらっしゃいましたら、ご解答いただけると幸いです。
解法方針だけでも助かります。

閲覧数:
359
回答数:
1
お礼:
100枚

違反報告

ベストアンサーに選ばれた回答

a68********さん

2020/4/705:12:47

解答の流れを書きます。

定石どおりz=kで切った時の断面積S(k)を考えてください。
対称性を使ったり、変数変換したり
S(k)=4{1 - k^(1/n)}^(2n) ∫{1-x^(1/n)}^n dx (積分範囲は0から1)
という形になると思います。(変数変換をしなければ少し違う形になりますが被積分関数のなかにkが入るだけでこの後の流れは大きくは変わりません)
ここに現れる積分はx=(sinθ)^2nとおくことで
∫{1-x^(1/n)}^n dx=2n∫(sinθ)^(2n-1)(cosθ)^(2n+1) dθ (積分範囲は0からπ/2)
=2n∫(sinθ)^(2n-2){1-(sinθ)^2 }^n × sinθcosθ dθ
=n∫ t^(n-1)(1-t)^n dt (t=(sinθ)^2 とおいた。積分範囲は0から1)
となります。
最後の積分はいわゆるβ関数と呼ばれるもので大学入試でもたまに問われていますね。(確か2013あたりの医科歯科でもβ関数の出題があったはず)
積分漸化式を立てることで
∫ t^(n-1)(1-t)^n dt = (n-1)!n!/(2n)!
となるので
S(k)=4{1 - k^(1/n)}^(2n) n!n!/(2n)!
です。
V(D)=2∫S(k) dk (積分範囲は0から1)
=8 ∫{1 - k^(1/n)}^(2n)dk n!n!/(2n)!
ですが、先と同じようにk=(sinθ)^2nとおくことで
∫{1-k^(1/n)}^(2n)dk
= 2n∫(sinθ)^(2n-1)(cosθ)^(4n+1) dθ (積分範囲は0からπ/2)
=n∫ t^(n-1)(1-t)^(2n) dt (t=(sinθ)^2 とおいた。積分範囲は0から1)
= n!(2n)!/(3n)!
となるので
V(D)=8n!n!n!(2n)!/{(2n)!(3n)!}
=8n!n!n!/(3n)!
です。

あとは
3^n × n! =1×3×・・・×3n
なので
27^n ×n!n!n!=3×3×3×6×6×6×・・・×3n×3n×3n
>1×2×3×4×5×6×・・・×(3n-2)×(3n-1)×3n
=(3n)!
>1×1×1×3×3×3×・・・×3(n-1)×3(n-1)×3(n-1)
=27^n ×(n-1)!(n-1)!(n-1)!
に注意すると
8/{(27^n)×n^3} <V(D)<8/27^n
であり、
8^(1/n)/{27×n^(3/n)} <(V(D))^(1/n) < 8^(1/n)/27
ここで
lim 8^(1/n) =lim 8^(1/n)/n^(3/n) =1
なので
lim (V(D))^1/n =1/27
となります。

返信を取り消しますが
よろしいですか?

  • 取り消す
  • キャンセル

質問した人からのコメント

2020/4/7 18:44:01

ご回答いただき、ありがとうございました!

あわせて知りたい

この質問につけられたタグ

みんなで作る知恵袋 悩みや疑問、なんでも気軽にきいちゃおう!

Q&Aをキーワードで検索:

Yahoo! JAPANは、回答に記載された内容の信ぴょう性、正確性を保証しておりません。
お客様自身の責任と判断で、ご利用ください。
本文はここまでです このページの先頭へ

「追加する」ボタンを押してください。

閉じる

※知恵コレクションに追加された質問は選択されたID/ニックネームのMy知恵袋で確認できます。

不適切な投稿でないことを報告しました。

閉じる