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ABC予想について大学一般教養くらいのレベルでわかるように教えてください

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ID非公開さん

2020/4/321:47:28

ABC予想について大学一般教養くらいのレベルでわかるように教えてください

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cet********さん

2020/4/610:55:52

4つ目の論文
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmu...
の3ページ目の定理Aの具体例が、Vojta予想、ABC予想、Szpiro予想などです。

【定理A】
Xを、滑らかかつ固有で、幾何学的に連結なある数体上の曲線とする。D⊆Xを既約因子とし、U_X:=X-D とおく。ε>0を正の実数とする。ω_X を X 上の標準層とする。U_X が双曲線である、すなわち、線束の次数 ω_X(D) が正であると仮定する。このとき、
ht_{ω_X(D)} ≲ (1+ε)(log-diff_X + log-cond_D)
が成り立つ。

定理Aにおいて、XをQ上の1次元射影直線P_Q^1とし、既約因子として D=0+1+∞ をもってくると、
log(max{|a|,|b|,|c|}) < (1+ε) Σ_{p|abc} log(p) + C
というかたちになる(Cはεのみに依存する定数)。
これがabc予想です。

The theoryさん

2020/4/419:47:48

まず幾つかの用語について説明します

[公約数と互いに素]
任意の自然数aは何らかの自然数を約数に持ちます.
(この回答では対象の数はいづれも正整数,また「約数」と言ったら「正約数」を意味することとします)

例えば自明な約数である1や自分自身であるaなどです
a.によっては自明な約数以外に約数を持ちます,例えば4は1と4以外に2でも割り切れます

2数a,bが同じ約数qを持つとき,このqは「a,bの公約数」と言います.

例えば4と6ではどちらも1と2で割り切れるのでこの1と2はどちらも4と6の公約数です.
中には公約数が一つだけの場合があります,例えば4と5の公約数は1の一つだけです.
一般に2数の公約数が一つであることき,その公約数は1です.
2数a,bの公約数が1のみであるとき,「aとbは互いに素(である)」と言います.


[根基]
任意の数nは素因数分解して

n=p^a × q^b × r^c × ...
(p,q,r,...:相異なる素数,a,b,c,...:正整数)

という形にできます(証明は割愛)

このとき,積pqr...をnの根基と言い,rad(n)=pqr...と表します

例えばn=12のとき,12は(2^2)×3と素因数分解できるので,rad(12)=2×3=6となります.

「nのすべての素因数の積」とも言い換えることができます.


[abc-triple]
以下の条件を満たす自然数の組(a,b,c)を用意します

(1)a+b=c
(2)a,b,cは各々互いに素である

これを満たす組(a,b,c)をabc-tripleと呼びます.

例えばa=1,b=4=c=5は各々が互いに素なのでabc-tripleです.
一方a=2,b=8,c=10はいづれも2を約数に持つため互いに素でない,よってabc-tripleではありません.


[本題]
任意の実数ε>0に対して,

c<rad(abc)^(1+ε)

を満たすabc-tripleは高々有限個であるろうか…?のがABC予想です

以下は蛇足です.



[考察]
不等式が成り立つ稀有な例で簡単なものは(1,8,9)です.
これがabc-tripleであるのは明らかですね.
また8=2^3, 9=3^2なのでrad(1×8×9)=2×3=6です.
9>6ですからこの場合c>rad(abc)が言えます.
つまりこの場合rad(abc)を1より大きな指数で累乗しないとc<rad(abc)^(1+ε)になりません.

逆に成り立たない例は例えばa=1,b=4,c=5で考えます.
(1,4,5)は明らかにabc-tripleであり,1×4×5=20なのでrad(20)=2×5=10です.
10>5なのでこの場合c<rad(abc)です.


或いは成り立たないのもで無限個存在する例も挙げましょう.
ここに限り,pを「奇数である任意の素数」とします.
このとき(1,p-1,p)は明らかにabc-tripleです.
またpが奇数でしたからp-1は偶数です.
1×(p-1)×p=(p-1)pは少なくとも2とpを約数に持ち,かつ仮定よりp≠2であることに注意すれば少なくとも
rad(1×(p-1)×p)≧2p>p

が言えます.

つまりc=p<rad(1×(p-1)p)ですから,これはくだんの不等式を満たさない,つまり(1,p-1,p)は成り立たない例となります.
pは奇数の素数としましたからこのabc-tripleは無限個存在します.

不適切な内容が含まれている可能性があるため、非表示になっています。

投稿内容に関する注意

gmd********さん

2020/4/417:38:56

●頭の悪い私は、
「『和』より『積の乗数と正の整数の掛け算』したものが大きいなんて当たり前、数値を代入すればそうなるし、そりゃそうじゃん」
と思ってしまう。
どこが凄いのかさっぱり分からん。
私にとっては
「1+1=2」
を証明しろ、と言っているようなもの。
そもそも証明されていないものを提起した、という理屈もさっぱり分からん。

と、思っていたら

■ABC予想の計算例
A=11,B=25,C=36
A+B=C
11+25=36
A,B,Cを素因数分解
A→11
B→5の2乗
C→2の2乗×3の2乗
D=11×5×2×3=330
多くの場合はD>Cになる
「A=1,B=8,C=9のような場合は例外的にD<Cになる」
という説明もあった。

これで証明できたことになってんの?
余計にさっぱり分からん。

「整数の深い性質を捉える十分な深さを持った理論」
とか言われても、
「そもそも整数に性質があるんかい?」
「せいぜい、素数、素因数分解程度しか思い浮かばん」
などと思ってしまう。

例えば
「AB = DC、AB // DCの△ABCと△CDAがあったとします。
このとき、角ABC = 角CDAであることを証明しなさい。」
△ABCと△CDAが合同である
合同な図形の
「対応する角はそれぞれ等しい」
ってことを使えば、
角ABC = 角CDA
がいえそうだからね。
https://media.qikeru.me/mathematical-proof-tips/
とかなら、なるほどと分かる。

科学なら目の前で起こっている現象が目で見て分かるから、この現象が起こる理由が知りたい、とかなら証明する、という意味も分かるが。

●ABC予想は超難問 解ければフェルマーの最終定理証明も
2020.4.3 17:45
https://www.sankei.com/life/news/200403/lif2004030087-n1.html
京都大の望月新一教授が証明した
「ABC予想」
は整数の性質に関する問題で、数学の多くの未解決問題の中でも超難問として知られる。
ABC予想は1以外の公約数を持たない自然数A、Bと、その和であるCについて、それぞれの素因数分解がどのように関係しているかを示した不等式。
望月氏によると、足し算と掛け算の
「絡み合い方」
の性質に関する予想だという。
数学の難問は、米クレイ数学研究所が2000年に1問当たり100万ドル(約1億円)の賞金を懸けると発表した7問の
「ミレニアム問題」
が有名だ。
ABC予想は含まれていないが、匹敵する超難問とされる。
ABC予想には複数の種類があり、今回とは別のタイプの予想を証明できれば、解決に約350年かかったフェルマーの最終定理の証明も導けるという。

●数学の難問「ABC予想」証明 望月京大教授の論文、学術誌に掲載
2020.4.3 14:00
https://www.sankei.com/life/news/200403/lif2004030058-n1.html
数学の重要な未解決問題として知られる難問の
「ABC予想」
を証明した京都大の望月新一教授(51)の論文が学術誌に掲載されることが決まった。
京大が3日、発表した。
従来の数学とは全く異なる革新的な理論に基づく論文で、その正しさが専門家による審査で認められた。
世界の数学史に残る画期的な業績で、今後の数学の研究に大きな影響を与えそうだ。
望月氏が執筆したのは、4本の論文で構成する
「宇宙際タイヒミューラー理論」。
自身が所属する京大数理解析研究所が編集し、欧州数学会が発行する権威ある専門学術誌
「PRIMS(プリムス)」
の特別号に掲載が決まった。
共同編集委員長として審査した柏原正樹特任教授は取材に対し
「ABC予想を証明した望月氏の論文が正しいものであると判断した」
とコメントした。
望月氏は
「取材に応じる意向はない」
としている。
ABC予想は3つの自然数と、それぞれの素因数について成り立つ関係を示した不等式で、1985年に欧州の数学者が提示した。
証明は極めて難しく、実現すれば他の多くの未解決問題も証明できることから、整数論の重要な課題となっていた。
望月氏は平成24年、自身のホームページで宇宙際タイヒミューラー理論を発表。
全く新しい概念に基づく独創的な数学理論で、これを使えば重要な未解決問題の
「リーマン予想」
を証明する糸口が見つかる可能性もあり、欧米の科学誌が
「21世紀最大級の数学的成果」
と報じるなど世界的な注目を集めた。
論文は計600ページを超える異例の長文。
内容は極めて難解で、理解できる数学者がほとんどいなかったため検証に時間がかかっていた。
学術誌への掲載というお墨付きを契機に理解者が増えれば、この理論の研究が世界で活発化し、数学に革命的な進歩をもたらすと期待されている。
望月氏はプリムス誌の編集委員長を務めているが、今回は望月氏が関与しない特別の編集委員会を設置して審査した。

■ABC予想
AとBの和がCになる3つの整数について、それぞれの素因数を使ったある不等式が成立するとした予想。
1985年に仏ピエール・マリー・キュリー大のJ・エステルレ氏とスイス・バーゼル大のD・マッサー氏が提起した。
数学の重要な未解決問題の一つで、証明されると他の複数の難問も連鎖的に証明できるとされる。

●ABC予想証明「数百年に1度」の偉業 望月新一氏、独創的理論
2020.4.3
https://special.sankei.com/a/society/article/20200403/0002.html
数学の難問
「ABC予想」
を証明した望月新一京都大教授の新理論は
「異世界から来た」
といわれるほど独創的で難解だ。
発表から8年近くを経て、ようやく学術誌への論文掲載が決まったが、理解できる数学者は今でも世界でわずか10人程度という。
他の難問解決にとどまらず、数学そのものを革新する可能性を秘めており、今世紀の数学に重大な影響を与えそうだ。
新理論の
「宇宙際タイヒミューラー理論」
は、数学上のある概念を示す宇宙という言葉と、図形を扱う理論名を組み合わせて命名した。
望月氏の独創性は、整数の数式であるABC予想の解決に幾何学の理論を当てはめるなどした上で、より抽象的で高い次元の世界を対象とする新理論を一から作り上げた点にある。
研究開始から証明完成まで約20年かかったという。
東京工業大の加藤文元(ふみはる)教授(数論幾何学)は
「数学のさまざまな場面で使えるかもしれない全く新しい手法を創造した」
「新大陸発見のように、誰も気づかなかった数学の世界を切り開いた」
「数百年に1度の業績だ」
と話す。
その影響の大きさは、微分積分に匹敵する新たな分野が誕生したと言われるほどで、物理学で言えばアインシュタイン並みの偉業とも評される。
論文は公表直後から注目されたが、数学の概念や発想の枠組みがあまりにも常識を越えていたため、理解できる人が増えず、内容を疑問視する声も出た。
英ノッティンガム大のイワン・フェッセンコ教授は
「ABC予想はこの理論で証明された」
「2050年から来たような理論を理解するには2年以上は学ぶ必要がある」
と強調する。
証明の正しさを確認するため、これまでに15人の学者が計1000を越える質問を望月氏にぶつけたという。
査読を経て2020年2月、論文掲載が認められた。
今回の証明は最も基本的な整数を対象としているが、特殊な整数を含む世界でも解決できれば、1859年に提示された重要な未解決問題の
「リーマン予想」
を解決する突破口となり、暗号理論に大きな影響を与える可能性もある。
望月氏もABC予想は1つの帰結にすぎず、
「整数の深い性質を捉える十分な深さを持った理論」
だとしている。
論文は今後、世界中の数学者による厳しい検証に晒される。
理論の正しさを確定させるために不可欠な過程で、望月氏との間で厳しいやり取りが展開されることも予想される。
望月氏は数学界で最高の栄誉とされるフィールズ賞の対象年齢(40歳以下)を過ぎているが、その業績はフィールズ賞以上と称賛する声もある。

●頭の悪い私は、...

jaa********さん

2020/4/323:01:39

①自然数nを素因数分解します。
②全ての素因数の指数を1にします。
③出てきた数をnの根基といいます。


360=2^3 ×3^2 ×5
rad(360)=2×3×5=30

この根基をまずしっかり覚えましょう。


さて、ABC予想の解説の前にもう1ステップ踏んでおきましょう。

①まず2つの互いに素な自然数を思い浮かべてください。
②それを足してください。
③元の2つの自然数とその和を全てかけて、その結果の根基をとってください。
④和と比べてください。


8と9は互いに素
和は17
全部かけて1224→根基は102
和よりも根基の方が大きい

この計算をしたとき、ほとんどは根基の方が大きくなります。
しかし、ごく稀に例外があります。
本当に稀ですが、無限に広がる自然数の中に例外もまた無限にあります。

ほんの少し……もう少し根基にハンデを与えてくれれば……
例外をなくすことはできなくても有限にできるのでは!?


ではハンデを与えましょう。
1より少しでも大きい実数(xとします。)をまず定めましょう。
そして、先ほどの操作の③と④の間で、根基をx乗します。

指数を少しでも1より大きくすれば、元の数よりも大きくなりますね。
これでハンデを設けられました!

ABC予想とは、このハンデとなるxがどれくらいの大きさなら例外を有限にできるか?というものです。


今回の証明において、xの大きさは
「1より大きければなんでもいい」ということがわかりました。
1.1でも1.0000000001でも
1+1/(思いつく限りでかい数)でも
結局は例外を有限に抑えられるということが示されました。


わからないところがあれば教えてください。

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