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2020/8/5 0:00

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h, h+1, h+2が全て半素数となるようなhは無数に存在しますか?

h, h+1, h+2が全て半素数となるようなhは無数に存在しますか?

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回答させていただきます。 無数に存在しない(?) 候補1 h,h+1,h+2=偶数,奇数,偶数 の場合 1より大なるどんな奇数をh+1に選んでもh,かh+1のどちらかが4を法として0と合同な数となるため不適 候補2 h,h+1,h+2=奇数,偶数,奇数 の場合 h+1は4を法として2と合同且つ3を法として0以外と合同な数を選ぶ このとき、h+1の候補は 10+12n 14+12n (n=0,1,2,・・・) 10+12nを候補に選んでh,h+1,h+2が全て半素数となる最初のnは2:33,34,35 14+12nを候補に選んでh,h+1,h+2が全て半素数となる最初のnは6:85,86,87 両者の候補の中の更に有望な候補はh,h+2のどちらかに3を法として0と合同な数、5を法として0と合同な数が必ず入るh+1を選べば良いようだ。 このときのh+1は26と34 25,26,27はh+2が3^3となり、反例となるが26が有望な候補の最初の数であることは違いない。 さて、では以上の条件を満たす12以上の数は何か 12×5=60である 93,94,95 153(51),154(77),155 213,214,215 273(91),274,275(55) ・ ・ ・ 145,146,147(49) 205,206,207(69) 265,266(133),267 ・ ・ ・ さて、この数列を見てみるとh,h+1,h+2の列に全て半素数の場合もあるが、半素数以外の合成数も出現している。 この数列で半素数以外の合成数がどのように出現しているか分かれば、h,h+1,h+2が全て半素数となる法則も分かるでしょう。 この問題、難しい。プリヒタの素数円30分割にある素数が無数に分布することを示す問題より難しい。

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計算を続けてみる 333(111),334,335 393,394,395 453,454,455(91=7×13) 513(171),514,515 573,574(287=7×41),575(115) 633,634,635 693(231),694,695 753,754,755 813,814(407=11×37),815 873(291),874(437=19×23),875(175) 933,934,935 993,994(497=7×71),995 325(65),326,327 385(77=7×11),386,387(129) 445,446,447 505,506(253=11×26),507(169=13×13) 565,566,567(189) 625(123),626,627(209=11×19) 685,686(343=7×49),687 745,746,747(249) 805(161=7×23),806,807 865,866,867(289=17×17) 925(185),926,927(309) 985,986,987(329=7×47) ()の中の計算に繋がりがないか、考えてみるしかない。例えば2つの数の積として表して片方か両方に12を足してみるとか