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2020/8/3 15:09

11回答

中1です。いくら考えてもわかりません。 よろしくお願いします。 1.4桁の自然数nは13の倍数で,13nの下3桁が378になる。 このような自然数をすべて求めよ。

中1です。いくら考えてもわかりません。 よろしくお願いします。 1.4桁の自然数nは13の倍数で,13nの下3桁が378になる。 このような自然数をすべて求めよ。 2.An=2³ⁿ+3⁶ⁿ⁺²+5⁶ⁿ⁺²とおく。A₀,A₁,A₂,…A₁₉₉₉の最大公約数を求めよ。

中学数学 | 数学23閲覧

回答(1件)

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中1にしては、けっこう高級な問題をやっているね 1. n=13k とおけば kは高々3桁 そして 169k の下3桁が 378 虫食い算の要領で kの一の位、十の位、百の位と順に調べれば k=162だとわかる だから n=13×162=2106 が唯一の解 2. A₀=35 だから、5か7だろうと予想はつくけど 2³ⁿ+3⁶ⁿ⁺² で n=1 を入れてみると 8+3⁸=8+81² で一の位が 9 だから 5はアウト 2³ⁿ=8ⁿ=(7+1)ⁿ だから、7で割った余りは 1…① 3⁶ⁿ⁺²=9·3⁶ⁿ で 3⁶ⁿ=9³ⁿ=(7+2)³ⁿ だから 2³ⁿ と同じく 7で割った余りは 1 よって 3⁶ⁿ⁺²÷7 の余りは 9÷7 の余りと同じで 2…② 5⁶ⁿ⁺²=25·5⁶ⁿ で 5⁶ⁿ=125²ⁿ=(7·18-1)²ⁿ だから 7で割った余りは -1 の偶数乗、すなわち 1 よって 5⁶ⁿ⁺²÷7 の余りは 25÷7 の余りと同じで 4…③ ①②③合わせて 7だから、すべてのAnは 7の倍数

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