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実ユークリッド空間R^d或いは複素ユークリッド空間C^dの部分集合である単位球面上にそれぞれの点が属する、収束する点列を考えたとき、その収束先も単位球面に属すので、

実ユークリッド空間R^d或いは複素ユークリッド空間C^dの部分集合である単位球面上にそれぞれの点が属する、収束する点列を考えたとき、その収束先も単位球面に属すので、 今考えている空間に対応する射影空間CP^d:=K^d/~の元は単位球面の元と一対一に対応することを考えれば、この距離位相で射影空間は自然に完備な距離空間になると思うのですが、あまりこういう議論は見たことがありません。どこかこういう考え方が活きる場面はないのでしょうか? (ノルムがずっと1ならその収束先もノルムが1であることが言えればいいんですが、点列をx_n、収束先をx^0とした時、 ||x^0||≦||x_n||+||x^0-x_n|| =1+||x^0-x_n||→1(n→∞) また ||x^0||≧||x_n||-||x^0-x_n|| =1-||x^0-x_n||→1(n→∞) より||x^0||=1であることが言えます。)

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回答(1件)

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球面そのものを扱うよりも、近傍空間(地図)と、それらの全体(地図帳)として、多様体を扱う方が、一般性があり、応用がききます。