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2020/10/16 6:00

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高校数学 整数の性質で出てきました。

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回答(1件)

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直角三角形だから三平方の定理が成り立つ。 a<b<cだから、a^2+b^2=c^2 …ウ a=7,b=25のとき 49+b^2=625 b^2=576 b=24 …アイ (3) アイ=24も含めて、表の中の15個の数字すべてに対して、2乗して4で割ってみればいい。 15個すべてを計算しなくても解る方法があるかどうか、じゃなくて、これは15個すべてを計算する問題です。 これ、やってみましたか? そうすれば、エが①になることが解る。 (4) cが偶数の場合、c^2を4で割った余りは0 a^2を4で割った余りは0か1で、b^2を4で割った余りは0か1なので、 a^2+b^2=c^2のとき、4で割った余りの組み合わせとしては、 a^2を4で割った余りは0で、b^2を4で割った余りは0、になる。 このとき、aは偶数で、bは偶数になる。 つまり、cが偶数のとき、bもcも偶数になる。 これは、a,b,cが互いに素であることに反する。 だから、オは① (5) aかbの一方が3の倍数かどうかを調べるんだから、3で割った余りを調べればいい。 (6) (5)と同様に、a,bを5で割ったときの余りで考えてみる。 整数を5で割った余りで考えると、5n,5n+1,5n+2,5n+3,5n+4の5タイプに分けられる。 別の分け方として、5n-2,5n-1,5n,5n+1,5n+2という分け方もある。 後者で考えるとする。 それぞれの2乗を考えると (5n)^2=25n=5(5n) (5n±1)^2=25n^2±10n+1=5(5n^2±2n)+1 (5n±2)^2=25n^2±20n+4=5(5n^2±4n)+4 となるので、整数の2乗を5で割ると、余りは0か1か4に限られる。 a^2+b^2=c^2となる組み合わせは、 a^2もb^2もc^2も余りが0の場合と a^2とb^2の片方が余り0でもう片方が余り1で、c^2が余り1の場合と、 a^2とb^2の片方が余り1でもう片方が余り4で、c^2が余り0の場合の3通り。 最初のケースはa,b,cが互いに素という条件に反するから、 a^2とb^2の片方が余り0でもう片方が余り1で、c^2が余り1の場合と、 a^2とb^2の片方が余り1でもう片方が余り4で、c^2が余り0の場合の2通り。 ということは、 aとbの片方だけが5の倍数で、cは5の倍数じゃない場合と、 aもbも5の倍数じゃなくて、cが5の倍数、のどちらかになる。 つまり、a,b,cのうち、1つだけが5の倍数、ということになる。 だから、答えは③ 面白い問題でした。

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質問者

2020/10/16 19:12

ありがとうございます! 〜の倍数かどうかを調べるなら〜で割った時のあまりを調べれば良いってことですか?