線形代数の問題、n次正方行列Aとn次単位行列E_nに対して、次を示せ。 (1)E_nと相似な行列はE_nのみである。
線形代数の問題、n次正方行列Aとn次単位行列E_nに対して、次を示せ。 (1)E_nと相似な行列はE_nのみである。 (2)Aが正則かつ対角化可能ならば、Aの逆行列A^-1も対角化可能である。
ベストアンサー
(1) 行列 En が B と相似であるとすると n次正則行列 Pが存在し En = P⁻¹BP となります 両辺左から P 右から P⁻¹ を掛けると PEnP⁻¹ = B En ＝ Ｂ となるので En と相似な行列は En のみとなります (2) A が正則で 正則行列Pによって対角化可能であるとし A の固有値をλ₁, λ₂, …, λn とすると P⁻¹AP は対角成分に 0 を含まない対角行列であり 対角成分は diag(λ₁, λ₂, …, λn) となります また (P⁻¹AP)⁻¹ = P⁻¹A⁻¹P の対角成分は diag(1/λ₁, 1/λ₂, …, 1/λn) であり A⁻¹ も P で対角化可能となります
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質問者からのお礼コメント
ありがとうございます！
お礼日時：2020/11/15 18:25
