京大受かる

2020/11/21 11:02

11回答

1以上n²以下の整数から無作為に一つの数字を選びそれをXとし、さらに、1以上X以下の整数から無作為に一つの数字を選びそれをYとする。Y=1であるときX≦nである確率Pnに対してlim(n→∞)Pnを求めよ

1以上n²以下の整数から無作為に一つの数字を選びそれをXとし、さらに、1以上X以下の整数から無作為に一つの数字を選びそれをYとする。Y=1であるときX≦nである確率Pnに対してlim(n→∞)Pnを求めよ

数学 | 高校数学・12閲覧・xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">500

ベストアンサー

0

たろう

2020/11/22 0:55

任意の自然数k (1≦k≦n²)に対して P(X=kかつY=1) = (1/n²)(1/k) P(Y=1) = Σ[k=1→n²] P(X=kかつY=1) = (1/n²)Σ[k=1→n²](1/k) よって Pn = Σ[k=1→n] P(X=kかつY=1)/P(Y=1) = { Σ[k=1→n](1/k) }/{ Σ[k=1→n²](1/k) } 任意の自然数Nについて ∫[1→N+1] dx/x = log(N+1)≦Σ[k=1→N](1/k)≦1+∫[1→N+1] dx/x = 1+log(N) だから log(n+1)/(1+log(n²))≦Pn≦(1+log(n))/log(n²+1) n→∞で左辺と右辺は1/2に収束するから lim(n→∞) Pn = 1/2