qzr********

2020/11/26 0:11

22回答

次の微分方程式の解が分かりません。よろしくお願いいたします。

次の微分方程式の解が分かりません。よろしくお願いいたします。

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大学数学・13閲覧・xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">50

ベストアンサー

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テレサ恋し

2020/11/26 1:31

d^2x/dt^2+3dx/dt+2x=6 (1) i)同次微分方程式 x''(t) +3x'(t)+2x(t)＝0 の一般解xgを求める。 特性方程式は λ^2+3λ+2=(λ+1)( λ+2)=0 λ=-1,-2 xg=cexp(-t)+dexp(-2t) 註 exp(x)=e^x ii)非同次微分方程式(1)の特殊解xsを xs=a（aは定数） の形で求める。 xs'=0 xs''=0 (1)に代入して 2a=6, a=3 xs=3 iii)非同次微分方程式(1)の一般解x: x=xg+xs=cexp(-t)+dexp(-2t)+3

ThanksImg質問者からのお礼コメント

ありがとうございます！他の方もありがとうございます！！理解できました！

お礼日時：2020/11/26 2:56

その他の回答（1件）

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ari********

2020/11/26 1:23

x''＋3x'＋2x＝6 特性方程式：λ^2＋3λ＋2＝(λ＋1)(λ＋2)＝0 の解を利用して次の2つに変形する。(解ト係数の関係) (i) (x''＋2x')＋(x'＋2x)＝6 x'＋2x＝u ト置くと、 u'＋u＝6 u'＝6ーu、(変数分離形) ∫du/(6ーu)＝∫dt log|6ーu|＝aーt 6ーu＝a'＊e^(-t) u＝A＊e^(-t)＋6 (ii) (x''＋x')＋2(x'＋x)＝6 x'＋x＝v ト置くと、 v'＋2v＝6 v'＝2(3ーv)、(変数分離形) ∫dv/(3ーv)＝2∫dt log|3ーv|＝bー2t 3ーv＝b'＊e^(-2t) v＝B＊e^(-2t)＋3 因って、 uーv ＝(x'＋2x)ー(x'＋x) ＝x ＝{A＊e^(-t)＋6}ー{B＊e^(-2t)＋3} ＝A＊e^(-t)ーB＊e^(-2t)＋3 ∴ x(t)＝C1＊e^(-t)＋C2＊e^(-2t)＋3