ID非公開

2021/1/16 17:59

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線形代数の問題。スカラー行列ではない複素正方行列Aの固有値がすべて等しければ、Aは対角化可能ではないことを示せ。この問題の解説をお願いします。

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ID非公開さん n 次正方行列 A は唯一の固有値 λ を持ち, かつ, 対角化可能とする. このとき, 固有値 λ にたいして, 線形独立 (1次独立) である固有ベクトルが n 個存在して, これら x_1,…,x_n を列として n 次正方行列 P = [x_1,…,x_n] とすると λ を対角成分とした対角行列 D によって AP = PD と表せるが, D=λI, (I は n 次の単位行列) であるから AP = λP P は正則だから, 両辺の右から P^(-1) を掛けると A = λI すなわち, A はスカラー行列に他ならない.