(1) (tx)p(tq)x = (tx)Bx について B は対称行列なので両辺にを転置させると (tx)q(tp)x = (tx)Bx となります☆ よってこの 2 つの式を足して 2 で割れば (tx){(1/2)(p(tq) + q(tp))}x = (tx)Bx であり (1/2)(p(tq) + q(tp)) は対称行列なので B = (1/2)(p(tq) + q(tp)) が得られます♪ (2) x を固有値 0 に対する固有ベクトルとすると (tx){(p(tq) + q(tp))/2}x = 0 です☆ よって x = p×q とすれば (tq)(p×q) = (tp)(p×q) = 0 なので 条件を満たしますね(b^-^) よって p×q が求める固有ベクトルです♪ (3) ||p|| = ||q|| = k, (p, q) = 0 とすると Bp = (k²/2)q, Bq = (k²/2)p なので この 2 つの式を足せば B(p+q) = (k²/2)(p+q) この 2 つの式を引けば B(p-q) = (-k²/2)(p-q) となりそれぞれ固有値と固有ベクトルです☆ 以上より P = [p×q p+q p-q] とすれば P⁻¹AP = diag[0 k²/2 -k²/2] (4) ||q|| = k とすると (p, q) = k²/2 なので Bp = (k²/4)p + 2k²q … ① Bp = (k²/2)p + (k²/4)q … ② より ① + 2② とすれば B(p+2q) = (5k²/4)(p+2q) ① - 2② とすれば B(p-2q) = (-3k²/4)(p-2q) となりそれぞれ固有値と固有ベクトルです♪ 以上より P = [p×q p+2q p-2q] とすれば P⁻¹AP = diag[0 5k²/4 -3k²/4] となりますね(*◕ ◡◕)✿♫♬