y′′-y′+3y=e^(x)sin3x (1)
i)同次微分方程式
y′′-y′+3y＝0
の一般解ygを求める。
特性方程式は
λ^2-λ+3=0
λ=(1±i√11)/2
yg=cexp(x(1+i√11)/2)+dexp((1-i√11)/2) (c,dは定数)
=exp(x/2)[cexp(ix√11/2)+d(exp(-ix√11/2)]
=exp(x/2)[Ccos((√11/2)x)+Dsin((√11/2)x)]
註 exp(x)=e^x
ii)非同次微分方程式(1)の特殊解ysを
ys=aexp(x)sin3x+bexp(x)sin3x（a,bは定数）
=exp(x)(asin3x+bcos3x)
の形で求める。
ys'=exp(x)(asin3x+bcos3x)+3exp(x)(acos3x-bsin3x)
=exp(x)[(a-3b)sin3x+(3a+b)cos3x]
ys''
=exp(x)[(a-3b)sin3x+(3a+b)cos3x]
+3exp(x)[(a-3b)cos3x-(3a+b)sin3x]
=exp(x)[-(8a+6b)sin3x+(6a-8b)cos3x]
(1)に代入して
exp(x)[-(8a+6b)sin3x+(6a-8b)cosx]-exp(x)[(a-3b)sin3x+(3a+b)cos3x]
+3exp(x)(asin3x+bcos3x)
=exp(x)[-(6a+3b)sin3x+(3a-6b)cos3x]
=e^(x)sin3x
係数比較して
6a+3b=-1
3a-6b=0
a=-2/15, b=-1/15
ys=-(1/15)exp(x)(2sin3x+cos3x)
iii)非同次微分方程式(1)の一般解y:
y=yg+ys=exp(x/2)[Ccos((√11/2)x)+Dsin((√11/2)x)]
-(1/15)exp(x)(2sin3x+cos3x)
