f(x)=xsin(π/x) f'(x)=sin(π/x)-(π/x)cos(π/x) f''(x)=-(π^{2}/x^{3})sin(π/x) である。 (1) f'(2)=1, x>2の時、0<x<π/2なので、sin(π/x)>0 したがって、x>2の時、f''(x)<0 なので、f'(x)はx>2上で単調減少関数である。したがって、 x>2でf'(x)<1である。 (2)f'(1/k)=-kcos(kπ)=(-1)^{k+1}kπ (3) g(x)=f'(x)-1 とおく。 g'(x)=f''(x)=-(π^{2}/x^{3})sin(π/x) g'(x)=0のとき、sin(π/x)=0なので、x>0だから、 x=1/k (kは自然数)である。x=1/kの近傍でg'(x)の符号が変わるので、 g(x)はx=1/k (kは自然数)で極値を持つ。 g(1/k)=f'(1/k)-1=(-1)^{k+1}kπ-1 g(1/(k+1))=f'(1/(k+1))-1=(-1)^{k+2}(k+1)π-1 kが偶数の時、g(1/k)<0, g(1/(k+1))>0 kが奇数の時、g(1/k)>0, g(1/(k+1))<0 g(x)はx>0上で連続関数で、したがって、中間値の定理から ある実数x[k+1]が存在して、1/(k+1)<x[k+1]<1/k となる。 (4)(3)より 1/n<x[n]<1/(n-1)なので、挟み撃ちの原理より lim[n→∞]x[n]=0 となる。 x>0でf(x)は連続なので、 lim[n→∞]f(x[n])=f(lim[n→∞]x[n])=f(lim[t→+0]t) =lim[t→0+]f(t)=lim[t→0+]tsin(π/t) となる。 |tsin(π/t)|<=|t|で、挟み撃ちの原理より lim[t→0+]tsin(π/t)=0 となる。