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数学の歴史上で、それまで正しいと思われていた公理が間違っていたと証明された事例ってありますか? 公理は昔からずっと同じですか?

大学数学 | 数学156閲覧

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回答(5件)

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ラッセルのパラドックスにより集合論の公理系が整備されたのはこれに近いでしょう。 さすがに現代数学では、公理系の矛盾(公理は真なので、真かつ偽が示されること)が証明されることはないと思います。 「昔からずっと同じ」かどうかは、昔がどのくらいを指すのかによります。数学史は知りませんが、初等幾何以外は、「最近(19-20世紀に)」公理系が整備されたのではないでしょうか。皆が納得する公理系ができるまでは紆余曲折の議論があったと想像されます。

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公理に、正しいも間違いもないでしょう 「公理ではないのでは?」と疑われていたものが「やっぱり公理でした」という事例ならそれなりにありますが

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公理とは「今からこれを正しいものとして議論を始めます」という決まりごとのようなものです。なので、公理が正しい、正しくないということ自体議論の意味はありません。 ただし、公理が適切に定められているかは議論の余地があります。例えば、幾何学では原論に記載されている平行線の公理が長い間物議を醸していました。他の公理から導き出せるのでは?つまり、公理ではなく命題なのでは?と言われていました。 結果的にこれは公理でした。さらに、この平行線の公理を除いた幾何学、非ユークリッド幾何学が誕生しました。

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質問者は「公理」とは何かがわかっていない. 「公理」が「間違っていた」という概念はない.

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公理に間違いはない。公理を無くせば新しい体系ができるだけ。

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