無限には可算無限と非可算無限があるのは分かりましたがほかにも~無限とかいう無限があるんですか?

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色々無限が出てきてますね。一応整理しておくと全部種類そのものが違う無限です。 無限は昔から不思議なものとして沢山議論されてきましたしそのような哲学も数多くあります。限りがない、考えただけでも何か惹かれるものがあるのでしょうね。 さて数学は厳密な学問です。厳密なので「○○とは?」と聞かれたら必ず「△△だ」と言えるようになっています。問題は何故△△なのか?という点です。実はこれは大半が人間が勝手に決めているものです。可算無限のことを「自然数と全単射写像が存在する集合」と人間が勝手に定義しました。そのため、みんながよく知るような無限とは少し違う性質が出てきたりします。もちろん可算無限の定義は適当に決めたわけじゃありません。話すと長くなりますが、一対一対応というのを上手く拡張してそれなりの理由があってこのように定義したのです。とはいえやはりそれでも勝手に定義したものなので「無限にも大小がある」という一見不思議な性質が見えたりしました。 下の人の順序数というのがありますがこれも同じです。人間が勝手に定義しました。この場合無限と言っていいのか微妙ですが、まあ無限っぽい感じはします。よくある1,2,3,....,∞というやつに対応する∞です。本当はω(オメガ)と表記しますが。これも無限なのに大きさが存在して、ωよりω+1のが大きいです。+は普通に馴染みのある足し算です。長くなるので色々省略しますが 1,2,3,...,ω,ω+1,...,ω×2,ω×2+1,...ω×3,....ω×4,...,ω×ω=ω²,ω²+1,....,ω³,....ω⁴,...ω^ω,....ω^ω^ω,....,ω^ω^ω^.....=ε₀,ε₀+1,.... って感じです。ε₀までの道のり長いですね。 大小のある無限ばっか見てきたのでここでない方も出しておきます。まずデデキント無限。これは理解するのが簡単です。Aと同じ濃度であるようなAの真部分集合Bが存在する時デデキント無限と言います。 イメージはいくつか要素とっても数変わらないって感じです。この場合デデキント無限かそうじゃないか(デデキント有限)だけしかないのでデデキント無限より大きい無限というと日本語的におかしくなります。大きいの定義が曖昧なんですね。 あとはちょっと違うかもしれませんが無限遠点ってのもあります。これは集合の元として∞が存在しています。何というべきでしょうか。プラスでもマイナスでも0でも複素数でもないaというのがあり、a+a=a、a×プラス=a、a×マイナス=-a、a×a=aと言った謎の性質を持つaを∞と書く、みたいなイメージです。無限大から∞+∞=∞とかいう性質を導くのではなく、∞+∞=∞とかの式を満たすものを無限遠点とする、みたいなイメージです。 あと無限大として直接出てきてるわけではありませんが、極限としての無限大もあります。lim[n→∞]とかいうやつです。これは無限大っぽい性質を持ってますが無限の定義は一切出てきません。

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他の方は非可算濃度について話してるので、僕は少し趣向を変えて可算順序数を紹介したいと思います。 thoth氏が説明してる「濃度」は無限集合の大きさわけで有名ですが、 大きさわけをより細かくして、比べる無限集合を限定したもの(厳密には整礎集合)を「順序数」とよびます。 順序数には名前のつけられたものがとても多いです。 「ε_0(イプシロン・ゼロ)」 ペアノの公理の証明論的順序数、根つき木グラフ全体の集合と対応する 「ζ_0(カントール順序数)」 ヴェブレン関数(2つの順序数のペアでより大きい順序数を表す方法) でφ(2,0) 「Γ_0(フェファーマン・シュッテの順序数)」 2変数のヴェブレン関数で表せない最小の順序数 「φ(1,0,0,0) (アッカーマン順序数)」 ヴェブレン関数を3変数にバージョンアップしても到達できない最小の順序数 「SVO(小ヴェブレン順序数)」 ヴェブレン関数を無限変数にバージョンアップしないと到達できない最小の順序数 「LVO(大ヴェブレン順序数)」 ヴェブレン関数の変数をいくら増やしても到達できない最小の順序数(厳密には変数の個数と出力の不動点) 「BHO(バッハマン・ハワード順序数)」 特殊な関数(ブーフホルツのψ)とアレフ2の力を借りないと表せない最小の順序数 「BO(ブーフホルツ順序数)」 ψとアレフアレフ0の力を借りないと表せない最小の順序数 「TFBO(竹内・フェファーマン・ブーフホルツ順序数)」 ψとアレフアレフ0の力を借りても到達できない最小の順序数 「PTO(ZFC)」 ZFCの証明論的順序数 簡単に言うと、大きすぎて普通の数学の前提だけでは順序数かどうかわからない順序数 「ω_1^CK(チャーチ・クリーネ順序数)」 どんな数学の前提を使っても、順序数であると証明できない最小の順序数 (「証明できないならなんで順序数って呼んでるの?」と思ったけど詳しいことは僕もわかりません) 名前のついている順序数はこれくらいです。 これ以外となると、PTO(ZFC)を超えているかもしれない(つまり順序数かどうか証明できない)ものもいくつかありますが今回は割愛しました。

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無限の大きさの違いならそれこそ無限にありますが,いちいち名前はつけてなかったりします。