x^2=-1 ならば xは全ての実数 は真ですか? また、 1/0=x ならば xは全ての実数 は真ですか?

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定義不足です。xや1/0は何でしょう? もし、実数xに対しx²=-1が成り立つ⇒xは全ての実数、なら真です。 もし複素数xに対し、なら偽です。 複素数でも実数でもいいですが、実数xに対し1/0=xが成り立つ⇒xは全ての実数なら真です。1/0はなんか新しい集合の元としときました。

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1/0は定義されないので 論じるのは不可能ですね。

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x,a などの変数は実数を表すことにします。 P(x),Q(x)をxに関する条件とするとき、 (*) 『すべてのxについて「P(x)⇒Q(x)」』が真 ⇔ {x|P(x)}⊂{x|Q(x)} です。 (実数)xに関する条件P1(x),P2(x)を P1(x):x^2=-1 P2(x):すべての実数aについて x=a である とすると、最初の命題は、 すべての実数xについて「P1(x)ならばP2(x)」 です。 P1(x)を真にするxは存在しないので、{x|P1(x)}=空集合 P2(x)を真にするxも存在しないので、{x|P2(x)}=空集合 空集合はどんな集合にも含まれる(空集合にも含まれる)ので、(*)により最初の命題は真です。 2番目の命題は 1/0 が無意味なので命題になりません(x=1/0がxに関する条件になりません)が、0*x=1 とすれば命題になります。 0*x=1を満たすxはないので、最初の命題とまったく同じで真になります。 (*)と空集合はどんな集合にも含まれる、ということから、命題 すべてのxについて「P(x)ならばQ(x)」 は、P(x)を満たすxが存在しない({x|P(x)}=空集合)時はいつでも真になります。

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