この問題ですが、四角形APMQが同一円周上にあることは分かったのですが△PBMと△QMCが二等辺三角形になることを示せずにいます。。

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

皆さまありがとうございます。大変勉強になりました。ちなみに、この問題は大阪府の教員採用試験の問題ですので、生徒が理解しやすいという観点からこちらをベストアンサーとさせていただきます。

お礼日時:4/18 19:33

その他の回答(2件)

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Q' を M を介して Q と対称な点とします。 この時 PQ' = cであり、BM : MC = QM : MQ' = 1 : 1より BQ'∥QCであり BQ = b。 錯覚より∠Q'BM = ∠QCMに注意して ∠ABQ' = ∠PBM +∠Q'BM = ∠PBM +∠QCM = 180 - 90 = 90° よって、三角形PBQ'は三辺の長さがa , b , cである直角三角形であるので、三平方の定理から与式を得ました。

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「△PBMと△QMCが二等辺三角形になる」とは限りませんから, 攻める方向を考え直さないといけないでしょう. 例えば,座標平面上に次のように置いて示すことができます. B(a+p,0), C(0, b+q), M((a+p)/2, (b+q)/2) で, c²=p²+q² ベクトル u=PM=((a-p)/2, (b+q)/2) v=QM=((a+p)/2, (b-q)/2) に対して 内積 u・v=0 より (a-p)(a+p)+(b+q)(b-q)=0 a²+b²=p²+q² から, a²+b²=c² が成り立ちます.

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