大学数学を独学しているものです。集合論を復習していますが、実数のほぼすべては超越数なのですよね?

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解釈の問題なので人それぞれかもしれませんが、 「実数という概念が未だに不明瞭さを残している」 は少し引っかかりました。 実数はよく定義されていて、そこに濁りはないです(、と思っています)。 単に、ある種の実数の分類においてその判定困難であるということです。 実数もそうですが、例えば微分方程式全体を集合とみたときに解けるか否かの判定が困難であるとか、自然数を1と素数と合成数に分類したときにある数がどこに属するのかの判定が困難であるとか、結構そういうの多いですよね。 ガロアが代数方程式の構造を解析したときのように、もしかしたら新たな数学の考え方が導入され、これらの構造が明らかになるかもしれないと考えると夢がありますね。

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「言葉での定義しかない」といいますか、数式も言葉ですから。 どこまでいっても言葉ですよ。 不明瞭と言う表現もどうかとは思うけど、未解決問題も多いことは確かでしょうね。 ただし、高校教師に適切な力量があるかとか生徒が理解できるかは、一概には言えない問題かと思います。