超急ぎです 三次方程式x^3-2x^2+ax+b=0の一つの解が 1+√3iであるとき、実数a、bの値を求めよ。 また、他の解を求めよ。

補足

教科書の問題で回答があるのですが、 a=1、b=12 他の解、-3,1-√3i となっています

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

途中式を書いてくださったと言う点で選ばせていただきました。 誤字のせいで大変ご迷惑、お騒がせ致しました。 申し訳ございません、 ありがとうございました

お礼日時:4/20 0:13

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一つの解が1+√3iなので 共役な複素数1-√3iも解である もう一つの解をtとおくと 解と係数の関係より t+2=2、2t+4=a、4t=-bなので t=0、a=4、b=0 よって A.a=4,b=0、他の解x=1-√3i,0

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実数係数の三次方程式が虚数解を持つとき、その共役複素数も解だから、他の解の一つは x=1-√3i 残りの解をx=c (cは実数)と置くと、次の恒等式 x³-2x²+ax+b=(x-c)(x-1-√3i)(x-1+√3i) が成り立つ。 x³-2x²+ax+b=(x-c)(x²-2x+4) =x³-(c+2)x²+2(c+2)x-4c xの恒等式なので係数比較して -2=-(c+2) ...① a=2(c+2) ...② b=-4c ...③ ①より c=0 ②より a=4 ...答 ③より b=0 ...答 他の解は x=1-√3i, 0 ...答 です。