回答受付が終了しました

ID非公開

2021/6/16 15:48

77回答

高校数学の数1についての質問です。√3が無理数であることを証明する時に互いに素な2つの自然数a.bをもちいてa/b=√3として矛盾を導くと習いました。

高校数学28閲覧

回答(7件)

0

互いに素にすれば、すべての分数について証明されるからです。 a,bが互いに素であるならば、a/b=√3 しかし、証明してみたらa,bが互いに素でないということで矛盾する、つまりa/bは互いに素であると証明できない=a,bが成立しない=整数/整数の分数にできない=無理数であるという理屈です。 互いに素でなくても証明ができなくはないですが、高3の極限の内容が必要です。 仮に高1で習う背理法を互いに素を使わないと結論が出ません。 a,bが互いに素でないとする。 a/b=√3 a=√3b a²=3b²…① a²が3の倍数であるから、aも3の倍数であり、 a=3mとおける。 a=3mであるから、①に代入すると、 9m²=3b² b²=3m²…② b²が3の倍数だから、bは3の倍数である。 「a,bの両方が公約数の3の倍数を持つから互いに素であることに反する」 これが言えません。 互いに素でないと、「 」内が言えないので、この後 bが3の倍数であるから、b=3pとおける。 ①に代入すると、a²=3(3p)² aが3の倍数であるからa=3qとおける。これを①に代入すると…といった形で結論が出ません。

0

背理法を用いた証明ですね。 有理数とは互いに素な2つの整数 a,b を用いて a/b と表すことが出来る数のことです。背理法を使うにあたり、√3 が有理数だと仮定しているので√3 も互いに素な2つの自然数 a,b を用いて a/b と表すことができるはずと考えます。計算を進めていくと、a,b が互いに素ではないと分かり、有理数である条件に矛盾が生じるため無理数であると言うことができます。 言葉足らずの部分等あるかもしれませんが、ざっくりとこんな感じです。

0

互いに素でない 互いに素と仮定したことに反する ということは前提が間違ってたはずだ 前提って「√3は有理数」だよな それが間違ってるってんなら√3は無理数ってことだよな こういうことだけど、どこが分かりにくい?

2

それが背理法です。 √3が無理数でないと仮定する。…① つまり、√3は有理数とする。 有理数の定義より √3=a/b と書くことができる。 今、可能な限り約分することで a,bは互いに素であると仮定できる。…② ①を仮定したことで②が可能となりました。 また、そのまま議論を続けることで aとbは共に3の倍数である。…③ ①を仮定すると③も言えるのです。 ①を仮定することで②③が言えましたが、②と③は相反する主張ですので、これが矛盾となるのです。 その矛盾を呼んだのは①の仮定ですので、仮定①の否定が結論となります。

2人がナイス!しています