nが5の倍数でないとき n^4+64 は必ず5の倍数であるか いまたまたま思いついたのですがこれ証明できますか?

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n=5k+1 (kは整数)のとき n^4+64 =(5k+1)^4+64 =(25k^2+10k+1)^2+64 =25k^2(25k^2+10k+1)+10k(25k^2+10k+1)+(25k^2+10k+1)+64 =25k^2(25k^2+10k+1)+10k(25k^2+10k+1)+25k^2+10k+65 =5{k^2(25k^2+10k+1)+2k(25k^2+10k+1)+5k^2+2k+13} 5の倍数である。 n=5k+2 (kは整数)のとき n^4+64 =(5k+2)^4+64 =(25k^2+20k+4)^2+64 =25k^2(25k^2+20k+4)+20k(25k^2+20k+4)+4(25k^2+20k+4)+64 =25k^2(25k^2+20k+4)+20k(25k^2+20k+4)+4(25k^2+20k)+16+64 =25k^2(25k^2+20k+4)+20k(25k^2+20k+4)+4(25k^2+20k)+80 =5{5k^2(25k^2+20k+4)+4k(25k^2+20k+4)+4(5k^2+4k)+16} 5の倍数である。 n=5k+3 (kは整数)のとき n^4+64 =(5k+3)^4+64 =(25k^2+30k+9)^2+64 =25k^2(25k^2+30k+9)+30k(25k^2+30k+9)+9(25k^2+30k+9)+64 =25k^2(25k^2+30k+9)+30k(25k^2+30k+9)+9(25k^2+30k)+81+64 =25k^2(25k^2+30k+9)+30k(25k^2+30k+9)+9(25k^2+30k)+145 =5{5k^2(25k^2+30k+9)+6k(25k^2+30k+9)+9(5k^2+6k)+29} 5の倍数である。 n=5k+4 (kは整数)のとき n^4+64 =(5k+4)^4+64 =(25k^2+40k+16)^2+64 =25k^2(25k^2+40k+16)+40k(25k^2+40k+16)+16(25k^2+40k+16)+64 =25k^2(25k^2+40k+16)+40k(25k^2+40k+16)+16(25k^2+40k)+256+64 =25k^2(25k^2+40k+16)+40k(25k^2+40k+16)+16(25k^2+40k)+320 =5{5k^2(25k^2+40k+16)+8k(25k^2+40k+16)+16(5k^2+8k)+64} 5の倍数である。 よって、nが5の倍数でないとき、n^4+64は必ず5の倍数である。