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2021/7/29 11:00

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数学 次の問題をラグランジュの未定乗数法を用いての解き方を教えていただきたいです よろしくお願い致します

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数学 | 大学数学51閲覧

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

おふた方ともありがとうございました!

お礼日時:8/2 1:25

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条件式:Φ(x,y)=x²+y²-4=0 目的関数:f(x,y)=x³y g(x,y,λ)=f(x,y)−λΦ(x,y) と置き、 偏微分=0の連立方程式を解く。 g(x,y,λ)=x³y−λ(x²+y²−4) ∂g/∂x=3x²y−2xλ=0………① ∂g/∂y=x³−2yλ=0……………② ∂g/∂λ=(x²+y²−4)=0………③ ①②より、 3y/x=x/y …………………………④ 3y²=x² ③に代入 3y²+y²−4=0 y=±1,x=±√3 f(x,y)=x³y=±3√3 答え 最大値は(x,y,f)=(√3 , 1 , 3√3) 解説: ベクトル((∂f/∂x)/(∂Φ/∂x),(∂f/∂y)/(∂Φ/∂y))が、 Φ(予算?)をf(効用?)に変換する、効率ベクトルです。 もし今、予算が、効率ベクトルの方向でなければ、 予算を少し減らして、効率ベクトルの方向に少し増加させれば、(予算の大きさはおなじでも、)効用を改善できる。 従って、最大値や極値では、予算が効率ベクトルの方向のはずである。④式は「予算が効率ベクトルの方向」(予算∽効率ベクトル)(比例する)を意味している。 しかしこんな理屈をいちいち考えなくても、ラグランジュ法は、自然と、その方向に誘導してくれます。