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(1) 3点P(1,3,3)、Q(3,4,4)、R(5,3,1)を通る平面πの方程式を求めよ。

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凡ミスがあり訂正しました。 (1) 3点P(1,3,3)、Q(3,4,4)、R(5,3,1)を通る方程式を求めよ。 vec{PQ}=(2,1,1) , vec{PR}=(4,0,-2) vec{PQ}×vec{PR}=(-2,8,-4)=-2(1,-4,2) から, 平面πの法線ベクトルを(1,-4,2)とし,Pを通るから,方程式は x-1-4(y-3)+2(z-3)=0 i.e. x-4y+2z+5=0 (2) の平面πに対する直線 g1: (x+6)/2 = y+1 = (z+4)/2 の正射影である直線g2の方程式を求めよ。 πの法線ベクトルを(1,-4,2)=vec{n} , g1の方向ベクトルを(2,1,2)=vec{d1} とおく。 g1:(x,y,z)=(2t-6,t-1,2t-4), π : x-4y+2z+5=0 から, (2t-6)-4(t-1)+2(2t-4)+5=0, 2t-5=0, t=5/2 よって,π,g1の交点は(-1,3/2,1) g2の方向ベクトルvec{d2}は, vec{d1}-{(vec{d1}・vec{n})/|vec{n}|^2}vec{n} =(2,1,2)-(2/21)(1,-4,2)=(1/21)(40,29,38) から, vec{d2}=(40,29,38)とおけて, 直線g2の方程式 : (x+1)/40=(y-3/2)/29=(z-1)/38 (3) の2つの直線g1 およびg2から等距離にある点の軌跡の方程式を求めよ。 vec{d1}/|vec{d1}|=(1/3)(2,1,2) , |vec{d2}|^2=40^2+29^2+38^2= 3885 vec{d1}/|vec{d1}|±vec{d2}/|vec{d2}|を法線ベクトルとし,(-1,3/2,1)を通る2つの平面が問題の軌跡ですが, |vec{d2}|=√3885 なので,汚い数値計算を強いられます。お任せします。

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(2) 平面の方程式は、x-4y+2z+5=0 で、直線と平面の交点Hの座標はH(-1,3/2,1) 平面は2つのベクトル u=(2,1,1)^T v=(2,0,-1)^T で張られるから、 A=(u,v) とおくと、 平面への正射影を表す行列Pは、 P=A(A^T A)⁻¹A^T =(1/21) (20...4...-2) (4....5....8) (-2...8...17) したがって、 点Hからの直線の方向ベクトル a=(2,1,2)^T の平面への正射影は、(1/21)(40,29,38)^T。 よって、直線g2の方向ベクトルは、(40,29,38)^Tだから、 直線g2の方程式は、 (x+1)/40=(y-3/2)/29=(z-1)/38. (3) は考え方は、g1,g2の方向ベクトルをp,qとすると、 これらを正規化したベクトルp',q'として、 p'+q' と p'×q' で張られる平面で点Hを通る平面を求めればいいが計算は煩雑。