この問題はどういう背景があるのか教えていただけませんか?(大学数学の知識を使ってもかまいません)

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補足

実数係数の方程式の解の個数に関する問題はよく見かけるのですが、複素係数の解の個数を考える問題で、(1)のような変形をするのは、一般的な方針(自然な)のでしょうか?

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

この視点、自然さは自分にはおもいつかなかったです。ありがとうございました。

お礼日時:9/21 6:18

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(1) (*)の全体の共役を取った式を(*1)とし (*)式からそれを引くと (*)-(*1) : (1)の問いの式が出る。 (2) α、βをそれぞれ a+ix、b+iy とし、 z=u+iv とすると (*)式は、 {(a+ix)-(b-iy)}×(u+iv)={(a-ix)-(b+iy)}×(u-iv) を満たす。 i(x+y)・(u+iv)=-i (x+y)・(u-iv) (x+y)・(u+iv)+(x+y)・(u-iv)=0 これはzとその共役が満たしている式であり、 z≠0 でない限り、x+y=0 が要求される。 これをα、βで表すと {α-(αの共役)}/2+{β-(βの共役)}/2=0 となる。 この時、(*1)式は、 (a+ix-b+iy)(u+iv)-(a-ix-b-iy)(u-iv)=0 {a-b+i(x+y)}(u+iv)-{a-b-i(x+y)}(u-iv)=0 (a-b)(u+iv)-(a-b)(u-iv)=0 これから、z=u+iv、zの共役=u-iv を入れ替えても (*1)式を満たすことから、二つの解があると言える。 (x+y=0の条件を導く最も簡単な方法は指数関数 を用いα、βの積の指数項を0とすることである)

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その前に バーは表示できないので[_]を使いますj_ ここで実数a_aなので 与式 αz_+αz++βz_+γ=0 これを変形 (αz_+αz++βz_+γ)_=0_ 0_=0なので 前の式から後の式を引く (α‐β_)z-(α_-β)z+γ‐γ_=0 が成り立つ。 複素数は共役虚数を考えれば良いですね (z_)_=z |z|=|z_| とかですね。取りあえず