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2021/10/14 21:48

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この写真の全ての問題の解き方と答えを教えて下さい。

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大至急でお願いします、緊急です

宿題 | 高校数学68閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">500

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設問1-1 平方根内は非負でなければならず、整数となるという条件から 10-n²=0(=0²),1(=1²),4(=2²),9(=3²) となる場合が考えられる 上記の中で、nが整数となるのは、1,9の場合であり n=1,3…答 設問1-2 題意から n²+56=k²…(k:正整数)…① の形式になる ➀を変形し k²-n²=56 (k-n)(k+n)=56=2³*7…② k-n<k+nであり、k-n,k+nは偶奇が同じになるので、②になりうる組合せは (k-n,k+n)=(2,28),(4,14)…③ となる ③から (n,k)=(13,15),(5,9)…③' となるので n=5,13 設問1-3 題意から n²+18n+9=k²…① と置ける ここで nが自然数だから、k²≧28 となるから、kは k≧6…② となる ➀をnの2次方程式と考えると n²+18n-k²+9=0…①' 解の公式より n=-9±√{9²-(-k²+9)}…③ となるが、nは正整数の条件から n=-9+√{9²-(-k²+9)}=-9+√(k²+72)…③' となる nが整数となるためには、③'で平方根が残ってはならないので k²+72=m²…(m:正整数)…④ の形式にならなければならない ④を変形し m²-k²=(m-k)(m+k)=72=2³*3²…⑤ m-k<m+kであり、m-k,m+kは偶奇が同じ(つまり2数は、どちらも偶数)だから、考えうる組合せは (m-k,m+k)=(2,36),(4,18),(6,12)…⑥ となる ⑥から (m,k)=(19,17),(11,7),(9,3)…⑦ となるが、②の条件から (m,k)=(19,17),(11,7)…⑦' (1)k=17の場合 n=-9+m=-9+19=10 (2)k=7の場合 n=-9+m=-9+11=2 以上から n=2,10 設問2-1 x²+2y²=19…① ➀を変形して x=19-2y…①' ➀'はの左辺は平方数だから、 19-2y²≧0 でなければならず、平方数であるから 19-2y²=0,1,4,9,16…② が考えられる つまり、 2y²=19,18,15,10,3…②' となる yが整数となるのは、18(19-2y²=1=x²)の場合だから y=±3 よって x=±1 となり、組合せはどれも可能であるから (x,y)=(1,3),(1-3),(-1,3),(-1,-3)…答 設問2-2 x²+xy+2y²=29…① ➀を変形し x²+xy+2y²-29=0…①' ➀'をxの2次方程式と見ると解の公式から x={-y±√(116-7y²)}/2…② xが整数となるためには、②で平方根が残ってはならないので 116-7y² が平方数にならなければならない 116/7=16+4/7 であるから、yは0~4で調べれば良い (1)y=0→116-7y²=116…平方数にならない (2)y=±1→116-7y²=109…平方数にならない (3)y=±2→116-7y²=88…平方数にならない (4)y=±3→116-7y²=53…平方数にならない (5)y=±4→116-7y²=4=2² 以上から、②は y=4の時、x=(-4±2)/2=-1,-3 y=-4の時、x=(4±2)/2=3,1 となるので (x,y)=(-1,4),(-3,4),(1,-4),(3,-4)…答 設問3 2次方程式の2つの解をα,βとし、αを整数解とする 3次方程式の解と係数の関係により α+β=m…① αβ=3m-5…② となる ここで、題意からα,mが整数であるため、①からβも整数となる どちらも整数であるから α≦β…③ とする ➀を②に代入し αβ=3(α+β)-5…④ ④を変形し (α-3)(β-3)=4…④' となる α-3,β-3は整数であるから、③の条件下で、④'となりうる組合せは (α-3,β-3)=(-4,-1),(-2,-2),(1,4),(2,2) となるので (α,β)=(-1,2),(1,1),(4,7),(5,5)…⑤ となる ⑤と①から m=1,2,11,10…答

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