あみだくじは何故絶対に答えが重ならないの?

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

みなさん、回答をありがとうございました。トポロジーを使うまでもなく割合簡単に説明できるものなのですね。確かにある交点のすぐ下の線を考えてみると、そこに到達できるのは交点の接続している横線からだけで、縦線からは流れ込めませんから重なることはないのが直観的に分かります。さてベストアンサーは難しいのですが分かりやすくかつ初めに答えていただいたbudewslakothさんにさせていただきます。

お礼日時:2009/4/20 21:18

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なんかみなさん難しいことを書いていて私には理解できません。 一言で端的に言いますと、横棒は二つのものを入れ替えるだけの働きをしているんです。 入れ替えるだけなんだから、答えがかさなることは絶対にありませんよね? ちなみに横棒は二つのものを入れ替える働きしか持ってませんので、奇数個の横棒を入れてはじめと同じ並び順でゴールさせることは不可能なんです。偶数個なら、一度入れ替えて、もう一度入れ替えればはじめと同じ並び順になりますけどね。

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トポロジーでの証明はちょっと分かりませんが、 簡単な数学の概念(単射、全射)の概念で 説明を。 トポロジーということばを知っているということで 全射、単射の概念はしっていることは前提に します。 で、定理 (定理)有限集合Aについて、AからA自身の 写像について、全射であることと単射であるこ とは同値である。 証明は、鳩ノ巣原理(というまでもないか)から 簡単にできます。 で、あみだの話に戻ります。阿弥陀は1~nに 番号を振った上と下の写像とみなすことができ ます。上から下へができると同時に、下から上 へもできるわけですから、全射であることは明 らか。よって上の定理から、単射(答えがかさ ならない)であることが言えます。 あみだくじは数学の対象におきかえると置換群 の話であり、横棒ひとつは互換に当たります。 あみだはすなわち、互換の合成をやっていると いうことであり、互換の積は置換群の元である から、全射かつ単射であるともいえます。 置換群の考えであみだくじをエッセイ的にまとめた 記述が、小平邦彦編「数学の学び方」(岩波) に載っていた気がするので、ご関心あれば図書館 で借りて読まれてみればどうでしょう。

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あみだくじは下からたどることもできます。上の2箇所からたどって下の1箇所にたどり着くとしたら,そこから上にたどったらどうなるんでしょうか。

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