単関数に関する命題で質問があります。 [命題] (Ω,Σ)は可測空間とする時, f:Ω→[0..∞]に対し,以下の条件は同値である。 (i) fはΣ-可測 (ii) 各点でf_1≦f_2≦…且つlim[n→∞]f_n=fなる非負Σ可測単関数列{f_n}_{n≧1}が存在する (iii) fは適当な{G_n}_{n≧1}⊂Σと{a_n}_{n≧1}⊂[0..∞)を用い,f=Σ_{n≧1}a_nI_{G_n}…(*)と表せれる (I_{G_n}は定義関数) という命題が某書籍に載ってました。 ここで集合f(Ω)が連続濃度を持つ時は可算個{a_n}_{n≧1}で本当に表せれるのか疑問に思いました。 (ii)⇒(iii)の証明は f=lim[n→∞] f_n=lim[n→∞](f_1+Σ_{n=1..n}(f_{n+1}-f_n))=f_1+Σ_{n=1..∞}(f_{n+1}-f_n)と書けるから という事でした。 f_nは単関数なので b_{1,1}H_{1,1}+b_{1,2H_{1,2}+…+b_{1,k_1}H_{1,k_1}:=f_1 b_{2,1}H_{2,1}+b_{2,2H_{2,2}+…+b_{2,k_2}H_{2,k_2}:=f_2 : b_{n,1}H_{n,1}+b_{n,2H_{n,2}+…+b_{n,k_n}H_{n,k_n}:=f_n (b_{n,1},b_{n,2},…,b_{n,k_n}∈[0..∞)且つH_{n,1},H_{n,2},…,H_{n,k_n}はdisjoint)と言った形に表せれると思います。 具体的に(*)のa_nとG_nはこれらbとHを使ってどのように具体的に表せるのでしょうか?
大学数学
