漢字では遣り切れないと書きます。 遣るという意味には「すっきりしない心を何かで紛らす」があります。 それを切れないと言っているので「紛らしても断ち切れない」という意味になり 「我慢することを耐えられそうにないという気持ちにさせられる様子だ」という意味になります。