この積分の解き方を教えていただきたいです

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

見易く整理された回答ありがとうございます

お礼日時:1/23 20:29

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被積分関数に1/nがあるのでn≧1とする。 √(1-t^(1/n))=xとおくとx:1→0 1-t^(1/n)=x^2 t^(1/n)=1-x^2 t=(1-x^2)^n. dt={-2nx(1-x^2)^(n-1)}dx I=2n∫[0→1]{(1-x^2)^(n-1)}dx ここで J[n]=∫[0→1]{(1-x^2)^n}dx とおくと J[n+1]=∫[0→1]{(1-x^2)^(n+1)}dx =∫[0→1]{(1-x^2)(1-x^2)^n}dx =∫[0→1]{(1-x^2)^n}dx-∫[0→1]{x^2(1-x^2)^n}dx =J[n]-∫[0→1]{x^2(1-x^2)^n}dx =J[n]-[(-1/(2(n+1)))x(1-x^2)^(n+1)][x=0→1] +(-1/(2(n+1)))∫[0→1]{(1-x^2)^(n+1)}dx =J[n]-(1/(2(n+1))J[n+1]. よって {1+1/(2(n+1))}J[n+1]=J[n] J[n+1]={(2n+2)/(2n+3)}J[n]. J[1]=∫[0→1]{1-x^2}dx =[x-(1/3)x^3][x=0→1]=1-1/3 =2/3. J[n]={(2n)/(2n+1)}J[n-1] ={(2n)/(2n+1)}{(2n-2)/(2n-1)}J[n-2] ... ={(2n)(2n-2)(2n-4)....4}/{(2n+1)(2n-1)...5}J[1] ={(2n)(2n-2)(2n-4)....4}/{(2n+1)(2n-1)...5}(2/3) =(2n)!!/(2n+1)!! よって I=2n∫[0→1]{(1-x^2)^(n-1)}dx =2nJ[n-1] =2n{(2n-2)!!/(2n-1)!!} =(2n)!!/(2n-1)!!.