fxx********さん 2022/1/23 20:42 (1) An=[-1+1/n,1-2/n] とおきます. A1=[0,-1] となって問題として成立しません. **************************** A=∪[n=2,∞][-1+1/n,1-2/n] とする. An=[-1+1/n,1-2/n], n≧2 とおく. A2=[-1/2,0] である. 0<1/n, -2/n<0 だから, n≧2 である任意の An において -1<An<1 である. 任意の ε>0 について 0<1/n<ε ⇒ -1<-1+1/n<-1+ε となる n∈N が存在する. また -ε<-2/n<0 ⇒ 1-ε<1-2/n<1 となる n∈N が存在する. したがって -1<x≦0 ⇒ x∈∪[n=2,∞]An=A および 0≦x<1 ⇒ x∈∪[n=2,∞]An=A すなわち A=(-1,1) A の境界は {-1,1} であり, A は自身の境界点をまったく持たないから開集合である. (2) An=[-1-1/n,1+2/n] とおく. 任意の ε>0 について, 0<1/n<ε となる n∈N が存在することから ∃n∈N において -ε<-1/n<0 ⇒ -1-ε<-1-1/n<-1 また, ∃n∈N において 0<2/n<ε ⇒ 1<1+2/n<1+ε したがって, ∃n∈N において An⊂(-1-ε,1+ε) である. さらに, An の定義から明らかに, ∀n∈N において [-1,1]⊂An だから A=[-1,1] A の境界は {-1,1} であり, A は自身の境界点をすべて含むから閉集合である.