a[1]=2 a[n+1]+a[n]=2n+5 と定められている数列{a[n]}の一般項の求め方とその答えを教えて下さい!

補足

自分は 5/2•(-1)^n+9/2となりました

数学 | 高校数学59閲覧xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">25

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<別解> a[1]=2 ___[1] a[n+1]+a[n]=2n+5 ___[2] [2]よりa[n+2]+a[n+1]=2n+7 ___[3] [3]-[2]より(a[n+2]-a[n+1])+(a[n+1]-a[n])=2 b[n]=a[n+1]-a[n]とおくと b[n+1]-b[n]=2 ⇔ b[n+1]-1=-(b[n]-1) ∴b[n]-1=(b[1]-1)*(-1)^(n-1) [1],[2]よりa[2]=-a[1]+2*1+5=5だから b[1]-1=a[2]-a[1]-1=2 よって b[n]=a[n+1]-a[n]=1+2*(-1)^(n-1) ___[4] [2]-[4]より 2a[n]=2n+4-2*(-1)^(n-1) ゆえに a[n]=n+2-(-1)^(n-1)=n+2+(-1)^n

ThanksImg質問者からのお礼コメント

1番早く回答をいただき、別解もくださったので、ベストアンサーに選びました。 他の2人もありがとうございます!

お礼日時:1/27 10:56

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a(1)=2 a(n+1)+a(n)=2n+5…① a(n+2)+a(n+1)=2n+7…② ②-① {a(n+2)-a(n+1)}+{a(n+1)-a(n)}=2 a(n+1)-a(n)=b(n)とおくと b(n+1)+b(n)=2…③ {b(n)}は{a(n)}の階差数列 ③より b(n+1)-1=-{b(n)-1)} ➀よりa(2)=5 b(1)=a(2)-a(1)=3 b(1)-1=2 したがって {b(n)-1}は初項2,公比-1の等比数列 b(n)-1=2・(-1)^(n-1) b(n)=2・(-1)^(n-1)+1 したがって n≧2のとき a(n)=a(1)+Σ(k=1→n-1)b(k) (途中計算省略) =n-(-1)^(n-1)+2…(答) これはn=1のときも成り立つ (漸化式を満たすことも確認しました)