a[1]=2 a[n+1]+a[n]=2n+5 と定められている数列{a[n]}の一般項の求め方とその答えを教えて下さい！
a[1]=2 a[n+1]+a[n]=2n+5 と定められている数列{a[n]}の一般項の求め方とその答えを教えて下さい！ 自分が本当は2n+3の所を2n+5と勘違いをしてこれを解いてしまったので答え合わせがしたいです！
補足
自分は 5/2•(-1)^n+9/2となりました
ベストアンサー
a[n+1]+a[n]=2n+5 ___[1] {(n+1)+2}+(n+2)=2n+5 ___[2] [1]-[2]より a[n+1]-{(n+1)+2}+a[n]-(n+2)=0 ⇔ a[n+1]-{(n+1)+2}=-{a[n]-(n+2)} ∴a[n]-(n+2)={a[1]-(1+2)}(-1)^(n-1)=(-1)^n（∵a[1]=2） ⇔ a[n]=(n+2)+(-1)^n じゃないですか？
＜別解＞ a[1]=2 ___[1] a[n+1]+a[n]=2n+5 ___[2] [2]よりa[n+2]+a[n+1]=2n+7 ___[3] [3]-[2]より(a[n+2]-a[n+1])+(a[n+1]-a[n])=2 b[n]=a[n+1]-a[n]とおくと b[n+1]-b[n]=2 ⇔ b[n+1]-1=-(b[n]-1) ∴b[n]-1=(b[1]-1)*(-1)^(n-1) [1],[2]よりa[2]=-a[1]+2*1+5=5だから b[1]-1=a[2]-a[1]-1=2 よって b[n]=a[n+1]-a[n]=1+2*(-1)^(n-1) ___[4] [2]-[4]より 2a[n]=2n+4-2*(-1)^(n-1) ゆえに a[n]=n+2-(-1)^(n-1)=n+2+(-1)^n
質問者からのお礼コメント
1番早く回答をいただき、別解もくださったので、ベストアンサーに選びました。 他の2人もありがとうございます！
お礼日時：1/27 10:56
