まず、５月３１日に退職、ということは、６月からは国民年金に切り替わります。（保険も、親の扶養にはいる、今の職場の保険を任意継続する、などでないなら国民健康保険に入ることになります） ですから、役所で国保加入、年金手続きを行ってください。（国保加入には元の職場での社保資格喪失証が必要です） たとえ国保加入の手続きを行わずに７月に突入したとしても、年金の方は自動的に６月は国民年金に切り替わるので、後日請求がくるでしょう。 税金については、６月からは２０２１年度の住民税の請求が始まります。会社をやめたのなら普通徴収に切り替わります。４期にわけて納めることになります。 それを７月からの会社で特別徴収（天引き）に切り替えたい場合は、会社に相談してください https://next.rikunabi.com/tenshokuknowhow/archives/22412/