四元数や八元数はなんのためにあるのですか? 数学に意味を求めるのはナンセンスだとは重々承知しているのですが、ふと疑問に思いました。

数学 | 大学数学87閲覧

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ThanksImg質問者からのお礼コメント

確かに四元数に拡張できることがすごいですよね、ありがとうございます

お礼日時:5/26 19:57

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すでにご覧になっているかとも思いますが、wikipediaの解説を一読されるのをおすすめします。 四元数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E5%85%83%E6%95%B0 八元数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AB%E5%85%83%E6%95%B0 四元数を見け、最初の研究をしたハミルトンさんは、複素数が実数2次元空間に演算をうまく入れたものとして得られるように、実数3次元空間に演算をうまく入れられないかと研究していたようです。それはいまいちうまくいかなかったものの、4次元実数空間に演算をうまく入れられた、と。その後狂ったように四元数の研究に没頭したらしいですね。 四元数については、物理、工学での応用、関連性のほか、数学内で非可換環論、群などで多少使われると思います。確かに複素数の活用度度合いでは全くないと思いますが、 「実数R上有限次元な結合的R多元環で体のもの(非可換を許す)はRとCとHのみである」 という「Hは絶対的な存在である」というのがあるので、どこまで活用されるか、はともかく、非可換な数学をしていると、出てきてしますのは必然です。 仮にハミルトンさんが見つけなくても、その後の非可換代数の研究で誰かが必然的に発見したと思います。 八元数については、物理の弦理論で応用されているらしいですが、数学内部で広く使われているかと言われると、八元数も四元数とにたある種の普遍性があるものの「非可換、非結合的」の非結合的なのが塩梅が悪く、四元数よりも出てくる場面は少ないと思います。 ただ、専門書なども出ているようですね。 あと、実数を含み代数閉体(代数方程式に解がある)ような可換体(四則演算が出てき掛け算が可換:ab=ba)なものが複素数に限るかと言われると、それはいえなくて、無限にあります。ただ、複素数が(解析的な扱いを含め)圧倒的に応用、活用されているのは確かですね。現実世界のモデルにフィットしやすく、工学、物理への応用も多数ですから。 あと、標数pの世界、という有限体の拡大体の世界もあります。 ただ、やはり実数、複素数から離れると、”数学のための数学”的になりがちなのはあるかな、と思います。

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