1. 任意の x, y ∈ G に対し
(xy)² = x²y² より
xyxy = xxyy
x(yx)y = x(xy)y
となるので 両辺に左から x⁻¹, 右から y⁻¹ を掛けると
yx = xy
が成り立つので G は可換群
2. (1) 任意の a, b ∈ G に対して
a ≠ -1, b ≠ -1 より
a*b ＝ a + b + ab = (a + 1)(b ＋ 1) - 1 ≠ -1
より a*b ∈ G
(2) 任意の a, b, c ∈ G に対して
◆ 結合法則
(a*b)*c ＝ {(a ＋ 1)(b ＋ 1) - 1}*c
＝ (a ＋ 1)(b ＋ 1)(c ＋ 1) - 1
a*(b*c) ＝ a*{(b ＋ 1)(c ＋ 1) - 1}
＝ (a ＋ 1)(b ＋ 1)(c ＋ 1) -1
より (a*b)*c ＝ a*(b*c)
◆ 単位元の存在
任意の a ∈ G に対して
0*a ＝ (0 ＋ 1)(a ＋ 1) - 1 ＝ a
a*0 ＝ (a ＋ 1)(0 ＋ 1) - 1 ＝ a
より 単位元 0 ∈ G が存在
◆ 逆元の存在
任意の a ∈ G に対して
a' ＝ 1/(a ＋ 1) - 1 とおくと
a' ∈ G において
a*a' ＝ a*a' ＝ 0
より Gの任意の元は逆元をもつ
以上より (G, *) は群となる
(3) 3*x*2 ＝ (3 ＋ 1)(x ＋ 1)(2 ＋ 1) - 1 ＝ 12x ＋ 11
より 12x ＋ 11 ＝ 5
となればいいので x ＝ -1/2
3. 二面体群ということは, 対称変換のなす群
恒等変換 e
60°回転, 120°回転 r, r²
3つの鏡映に対応する回転 s₁, s₂ = rs, s₃ = r²s
で構成される群ということで
D6 = {e, r, r², s, rs, r²s} となる
部分群の位数は元の群の位数の約数
よって D6 は位数が 6 より 部分群の位数は 1, 2, 3, 6 であり
1, 6 のものは自明な部分群なので除外するので位数は 2, 3 となる
2, 3 は素数より 部分群は巡回群のみとなる
◆ 位数 2 のもの
{e, s}, {e, rs}, {e, r²s} が部分群
◆ 位数 3 のもの
{e, r, r²} が部分群
よって {e, s}, {e, rs}, {e, r²s}, {e, r, r²} が
D6の 自明でない部分群となる
