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2022/5/22 22:42

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中学数学 ラ・サール高校の問題です。なるべく分かりやすく教えてもらえると助かります。

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質問者2022/5/23 2:15

(1)で四角形BFGNの中に半円とBMが引かれている状態を図に示すのが難しいです、、書いてくださると有難いです

ThanksImg質問者からのお礼コメント

有難うございました!

お礼日時:5/23 19:44

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>中学数学 ラ・サール高校の問題です。なるべく分かりやすく教えてもらえると助かります。 球の中心を O(0, 0, 0), 球の方程式を x^2 + y^2 + z^2 = 1 とします。 立方体の8つの頂点の座標を、 A(-1, -1, +1), B(+1, -1, +1), C(+1, +1, +1), D(-1, +1, +1), E(-1, -1, -1), F(+1, -1, -1), G(+1, +1, -1), H(-1, +1, -1), とします。 (i) 3 点 A, B, M を通る平面をαとします。 中点 M の座標は M(+1, 0, -1) となります。 ベクトルBA = ベクトルOA - ベクトルOB = (-1, -1, +1) - (+1, -1, +1) = (-2, 0, 0), ベクトルBM = ベクトルOM - ベクトルOB = (+1, 0, -1) - (+1, -1, +1) = (0, +1, -2). したがって、ベクトルの外積を求めると、 ベクトルBA × ベクトルBM = (0, -4, -2). よって、平面αの方程式は、 0(x - 1) -4(y - 0) -2(z + 1) = 0 ⇔ 4(y - 0) + 2(z + 1) = 0 ⇔ 2y + z + 1 = 0. このとき、原点 O と平面αとの距離 d は、 d = 1/√(2^2 + 1) = 1/√(5). したがって、求める切り口の円の半径の長さは、 √(1 - d^2) = √(1 - 1/5) = 2/√(5) = (2/5)√(5).………………………………………………答 (ii) 3 点 A, F, H を通る平面をβとします。 3 点 A, F, H は直線OCに関して対称なので、 βの方向ベクトルは (1, 1, 1) になるから、 βの方程式は、 x + y + z + 1 = 0.. このとき、原点 O と平面βとの距離 d' は、 d' = 1/√(1^2 + 1^2 + 1^2) = 1/√(3). したがって、求める切り口の円の半径の長さは、 √(1 - d'^2) = √(1 - 1/3) = √(2/3) = (1/3)√(6).………………………………………………答 【参考文献】 ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ - 高校数学の美しい物語 https://mathtrain.jp/gaiseki 点と平面の距離公式と例題・2通りの証明 - 高校数学の美しい物語 https://mathtrain.jp/tentoheimen 点と平面の距離の公式 https://www.cck.dendai.ac.jp/math/support/ch1-supp/%E7%82%B9%E3%81%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E3%81%AE%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F.pdf 以上、何かのお役に立てば幸いです。

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質問者2022/5/23 2:02

ご丁寧な解説で有難いんですが、中学内容で教えてもらえませんか?