大学数学のε-N論法についてです。
大学数学のε-N論法についてです。 sinxのxを無限に飛ばすと振動すると 思いますが、ε-N論法を使うと、 どんなにεの範囲を小さくしても Nが必ず存在するので、 収束しているように考えられてしまう 気がします。 例えば、αを極限値とすると、 「α=1／2」としてεをとっても 「α=0」としてεをとっても 「 -1 < sinx < 1 」の間に連続して値が 存在するので、Nが必ず存在し、 振動するはずのsinxが収束して、 極限値を持つ条件を満たして しまうのではないか？ ということです。 上記が正しいなら、あくまで ε-N論法は収束(発散)することを前提に 考えてるから、sinxの極限は ε-N論法だと定義できない ってことになるんでしょうか？ また、もしそうだとしたら 収束することがわかっていないと (明らかに収束することが わかっているものを扱うと思いますが) ε-N論法が成り立たなくなり、 根本的に結果論であって 例外は無視するということでしょうか？ 不躾な質問になってしまったと 思いますが、どうかご回答 よろしくお願いします ♂️
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ベストアンサー
「Nが必ず存在し、 振動するはずのsinxが収束して、 極限値を持つ条件を満たして しまうのではないか？」 これは正しくないと思います。 たとえばα=0としておきます。sinxがx→∞で0に収束するというのは、イプシロンエヌでかくと 任意のε>0に対し、あるNが存在して、「x>Nならば」、|sinx|<ε キーとなるのはかぎかっこで囲った部分です。これが言っているのは、xがNより大きいなら常に|sinx|<εということです。 これは明らかに誤りでしょう。たとえばε=1/2としてみると、xがNより大きければ常に-1/2<sinx<1/2ということです。 任意の奇数nにたいして|sin(nπ/2)|=1なので、Nより大きいnπ/2も存在するわけで、常に-1/2<sinx<1/2というのはありえません。
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回答ありがとうございます。 とてもわかりやすかったです。 常に|sinx|<εが成り立ってないと 全然収束の説明になってない ですもんね。完全に自分の 理解不足でした笑 また、これとは別に疑問に 思ったんですが、 α=0とした時に、 |ε|<1の範囲でεをとれば、 収束しないことが分かると 思いますが、例えば「ε=2」と したら、常に|sinx|<εと なりますよね？ こうなってくると 任意のεにもとるべき 範囲が決まってくると 思うんですが、 どう記述すればいいんでしょうか？
質問者からのお礼コメント
大変勉強になりました！ ありがとうございます！
お礼日時：5/27 21:45
