(i)a_11=0の時 このときa_11・a_22 - a_12・a_21≠0より a_12・a_21≠0 よって、a_12≠0 ∧ a_21≠0になります。 (以下、分かりづらくなるので行列の区切りとして , を用います。) この時、行列Aは [ 0, a_12 ] …① [ a_21, a_22 ] …② となります。ここで、①と②を入れ替えれると [ a_21 , a_22 ] …①' [ 0 , a_12 ] …②' となり、ここで ①'-②'×(a_22/a_12)とすると、 [ a_21 , 0 ] …①'' [ 0 , a_12 ] …②'' となります。あとは、①''×(1/a_21)、②''×(1/a_12)とすれば a_12≠0 ∧ a_21≠0であることと合わせて。 簡約化が単位行列E_2になることが確かめられ、 Aは正則であると言えます。 (ii)a_11≠0の時 行列Aは [ a_11 , a_12 ] …③ [ a_21 , a_22 ] …④ となり、ここで、④-③×(a_21/a_11)とすると、 [ a_11 , a_12 ] …③' [ 0 , a_22 - a12・(a_21/a_11) ] …④' となります。 (※この時注意してほしいのは、 a_22 - a12・(a_21/a_11) =(a_11・a_22 - a_12・a_21)/a_11 より2行2列の要素は0ではないということです。) 次に、④'-③'×{a_12・a_11/(a_11・a_22 - a_12・a_21)} とすると、 [ a_11 , 0 ] …③'' [ 0 , (a_11・a_22 - a_12・a_21)/a_11 ] …④'' となります。 あとは、③''×(1/a_11)、 ④''×a_11/(a_11・a_22 - a_12・a_21)とすれば a_11≠0 ∧ a_11・a_22 - a_12・a_21≠0であることと合わせて、 簡約化が単位行列E_2になることが確かめられ、 Aは正則であると言えます。 以上(i),(ii)より、 a_11・a_22 - a_12・a_21≠0が成り立つすべての場合で Aは正則であることが確かめられました。 こんな感じでいかがでしょうか？