数列の階差数列を使って一般項を求めたり、和から末項を求めたりする場合に、a₁のときと、それ以降の項の数列が分離するのは、数列の性質によるものです。 例えば、aₙ = n^2 という数列の場合、階差数列は dₙ = 2n となります。つまり、a₁ = 1、a₂ = 4、a₃ = 9、a₄ = 16 と、a₁のときとそれ以降の項の値が異なります。 この場合、a₁は数列の初期値であり、それ以降の項は数列の規則性によって決まります。つまり、a₁は数列の一部ではありますが、数列の規則性とは独立した値であると言えます。 そのため、a₁のときとそれ以降の項の数列が分離するのは、数列の性質による自然な現象であると言えます。 この違和感を拭うためには、a₁を数列の規則性によって決まる値として考える必要があります。例えば、aₙ = n^2 という数列の場合、a₁ = 1 ではなく、a₁ = 0 とすると、a₁のときとそれ以降の項の数列が連続するようになります。 また、a₁を数列の初期値として捉えるのではなく、数列の一部として捉えることもできます。例えば、aₙ = n^2 という数列の場合、a₁ = 1 を数列の最初の項として考え、a₂ = 4、a₃ = 9、a₄ = 16 を数列の2番目から4番目の項として考えれば、a₁のときとそれ以降の項の数列が連続するようになります。 このように、a₁のときとそれ以降の項の数列が分離する違和感を拭うためには、a₁を数列の規則性によって決まる値として考えるか、あるいは、a₁を数列の一部として捉えるかのどちらかの方法があります。